近世代数理论基础42：有限生成交换群的基本定理

2019-03-20 本文已影响5人溺于恐

有限生成交换群的基本定理

初等变换

将一整数矩阵的行互换或列互换,一行乘一整数加到另一行,一列乘一整数加到另一列,以 $-1$ 乘一行或一列,统称初等变换

定理：任一 $m\times n$ 阶 $(m\le n)$ 整数矩阵经初等变换后可化为 $\begin{pmatrix}d_1&0&0&\cdots&0&0&0\\ 0&d_2&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&d_m&0&0\end{pmatrix}$ ,且 $d_i\ge 0(1\le i\le n)$ , $d_1|d_2|d_3\cdots|d_n$

可能 $\exists r\le n$ , $i\ge r$ 时 $d_i=0$

证明：

$设A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}为任一m\times n矩阵$

$若A=0,则定理显然成立$

$若A\neq 0,经初等变换,不妨设a_{11}\gt 0$

$下证对A经初等变换后,a_{11}|a_{ij}(1\le i\le m,1\le j\le n)$

$a_{11}=1时,显然成立$

$a_{11}\gt 1时,若a_{11}\nmid a_{i_0j_0}$

$则经过行列互换,可将a_{i_0j_0}移至a_{21}或a_{22}的位置$

$设B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},a\ge 1$

$下证通过初等变换可将B化为\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{pmatrix},a_1|(b_1,c_1,d_1)$

$a=1时,结论显然成立$

$若a\nmid b,则可取q\in \Z,使0\lt aq+b\lt a$

$将B的第1列乘q加到第2列,然后两列互换得$

$\begin{pmatrix}aq+b&\star\\\star&\star\end{pmatrix}$

$其中aq+b是小于a的正整数$

$若a|b,a\nmid c,则取q’\in \Z,使aq’+c\lt a$

$将B的第1行乘q’加到第2行,然后两行互换得$

$\begin{pmatrix}aq’+c&\star\\\star&\star\end{pmatrix}$

$其中aq’+c是小于a的正整数$

$若a|(b,c),a\nmid c,令c=c’a$

$将B的第1行乘-c’加到第2行,然后再将第2行加到第1行得$

$\begin{pmatrix}a&(1-c’)b+d\\\star&\star\end{pmatrix}$

$此时a\nmid (1+c’)b+d,化为a\nmid b的情形$

$\therefore 对a用归纳法可证通过初等变换可将B化为\begin{pmatrix}a_1&b_1\\c_1&d_1\end{pmatrix},a_1|(b_1,c_1,d_1)$

$\therefore 矩阵A中,将第1行乘-a_{i1}/a_{11}(1\le i\le m)加到第i行$

$然后将第1列乘-a_{1j}/a_{11}加到第j列得$

$\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\0\\\vdots& &A'\\0\end{pmatrix}$

$A’为(m-1)\times (n-1)阶整数方阵$

$且a_{11}能整除A’的任一元$

$对A’采用上述办法,A可化为\begin{pmatrix}d_1&0&0&\cdots&0&0&0\\ 0&d_2&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&d_m&0&0\end{pmatrix}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

不变因子

$d_i(1\le i\le m)$ 称为矩阵的不变因子

乘积 $d_1d_2\cdots d_r(1\le r\le m)$ 是该矩阵的所有r阶子行列式的最大公因子

在初等变换下,该最大公因子不变,一个矩阵的不变因子唯一确定

$d_i$ 的因子分解式为 $d_i=p_1^{e_{i1}}p_2^{e_{i2}}\cdots p_{l_i}^{e_{il_i}}$

其中素数幂称为矩阵的初等因子

令 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 为n个不定元,所有线性型 $y=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n,a_i\in \Z$ 所成的集合记作D

显然,若 $y_1,y_2\in D$ ,则 $y_1\pm y_2\in D$

模

定义：设M为D的一个子集,若 $y_1,y_2\in M$ ,有 $y_1\pm y_2\in M$ ,则称M为一个模

显然,D本身也是一个模,称为自由模

基

定义：设模M中有一组元 $y_1,y_2,\cdots,y_t$ ,使M中任一元都可唯一地表为 $b_1y_1+b_2y_2+\cdots+b_ly_l$ 的形式,其中 $b_1,b_2,\cdots b_l\in \Z$ ,则 $y_1,y_2,\cdots,y_l$ 称为M的基,l称为M的维数

若 $y_1,y_2,\cdots,y_l$ 为M的基,则 $y_1,y_2,\cdots,y_l$ 线性无关,即由 $a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ly_l=0$ 得出 $a_1=a_2=\cdots=a_l=0$

引理：模必有基,维数 $\le n$

证明：

$假设模M的所有元的表达式中x_{l+1},\cdots,x_n(l\le n)的系数全为零$

$x_l的系数有不为零的$

$显然,所有元的x_l的系数组成\Z中一个非零理想$

$其中有一最小正整数b_l,其他数都是b_l的倍数$

$设y_l=b_1x_1+\cdots+b_lx_l$

$\therefore M中任一元y中x_l的系数都是b_l的倍数$

$\therefore y=y’+gy_l$

$其中g\in \Z,y’是不定元x_1,x_2,\cdots,x_{l-1}的线性型$

$设由此得到的所有y’中x_{x=l’+1},\cdots,x_{l-1}(l’\le l-1)的系数全为零$

$又x_{l’}的系数有不为零的$

$\therefore 可找到线性型y_{l’}=b’_1x_1+b’_2x_2+\cdots+b’_{l’}x_{l’}$

$其中b’_{l’}在所有y’中x_{l’}的系数为最小$

$且\forall y’=y''+g’y_{l’}$

$其中g’\in \Z,y''为x_1,\cdots,x_{l’-1}的线性型$

$\therefore 可得M的一组基y_l,y_{l’},\cdots,$

$其所含元个数\le n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

设M为维数为n的模 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是它的一组基,每个 $y_i$ 都是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的线性型, $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 是它的一组基,每个 $y_i$ 都是 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的线性型,则

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

A为n阶整数方阵

对 $\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ 作初等变换能产生M的一组新的基,相当于对A作初等行变换

对 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ 作初等变换能产生D的一组新基,这时对A的列必须作相应的初等变换

当 $x_i$ 与 $x_j$ 互换时,A的第i列与第j列互换

当c乘 $x_i$ 加到 $x_j$ 上时,A的第j列乘-c加到第i列

当 $x_i$ 乘-1时,A的第i列乘-1

注：可通过行和列的初等变换将A化为对角形

定理：设M为D的一个子模,则可适当选择D的一组基 $x’_1,x’_2,\cdots,x’_n$ ,使M有一组基形如 $d_1x’_1,d_2x’_2,\cdots,d_nx’_n$ ,其中 $d_i\ge 0(1\le i\le n)$ ,且 $d_1|d_2|\cdots|d_n$ (当M的维数小于n时,最后有几个 $d_i=0$ )

设G为一交换群,若存在n个元 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 使G中任一元都可表为 $a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ny_n,a_i\in \Z$ ,则 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 称为G的生成元,当生成元个数有限时,G称为是有限生成的

定义自由模D到群G之上的同态映射

$\varphi:D\to G\\a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\mapsto a_1y_1+a_2y_2+\cdots+a_ny_n$

记 $\varphi$ 的核为M,M为D的一个子模

由同态定理知, $G\cong D/M$

D中存在一组基 $x’_1,x’_2,\cdots,x’_n$ ,使M有一组基为 $d_1x’_1,d_2x’_2,\cdots,d_nx’_n$ ,且 $d_1|d_2|\cdots|d_n$ ,若当 $m+1\le r\le n$ 时有 $d_r=0$ ,则 $G\cong (h_1)+(h_2)+\cdots+(h_n)$