根据马科维兹Markowitz理论计算资产组合的比例, 2022

2022-06-21 本文已影响0人 Mc杰夫

(2022.06.22 Wed)
Markowitz在20世纪50年代引进了均值-方差模型成了现代证券组合理论的基石。

证券组合理论

在该理论中通常有n种标的可投，每种标的的收益率可以看做是随机变量，记为 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ ，相应的均值为 $\overline r_1,\overline r_2,\cdots,\overline r_n$ ，方差记为 $\sigma_1^2,\sigma_2^2,\cdots,\sigma_n^2$ ， $r_i$ 和 $r_j$ 的相关系数记作 $\rho_{ij}$ 。

一个假定是，投资者追求高收益而规避风险，或者有高均值而无大的方差。但经验告诉我们高收益总是伴随高风险。根本解决方案在于通过证券组合(portfolio)，即资金分散于各种证券，用于分散风险。

基于上面分析，设n种标的的资金比例分别为 $w_1,w_2,\cdots,w_n$ ，有 $\sum_i w_i = 1$
总的收益率是 $r_p = \sum_i w_i r_i$
因此平均收益率为 $\overline r_p = Er_p = \sum_i w_i \overline r_i$
方差为 $\sigma_p^2 = Dr_p = \sum_i\sum_j w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i \sigma_j$

一般来说， $\sigma_p^2$ 远小于 $\sigma_i^2$ ，也就是说分散投资之后的风险显著降低。若充分分散化，比如 $w_i = \frac{1}{n}, i = 1,2,3,\cdots,n$ ，则有 $\sigma_p^2 = \frac{1}{n^2} \sum_i \sum_j \rho_{ij}\sigma_i \sigma_j$
如果大部分标的不相关或弱相关，则上式可以简化成 $\sigma_p^2 = \sum_i \sigma_i^2$

标的比例计算

根据前面推导结果，计算 $\sigma_p^2$ 最小情况下的 $w_i$ ，就可以确定不同标的在如何搭配时风险最小。这是一个线性约束下饿二次规划问题。

这里我们计算一种特例，即只有两种标的下的持有比例。在分析之前，首先回顾一下期望、方差、协方差这几个概念。

数学概念

期望expectation\mean：设 $\xi$ (读作xi)为一离散型随机变量，它的取值 $x_1,x_2,\cdots$ 对应的概率是 $p_1,p_2,\cdots$ 如果级数 $\sum_{i=1}^{\infty}x_i p_i$ 绝对收敛，则把它称作 $\xi$ 的数学期望(mathematical expectation)，简称期望或均值(mean)，记作 $E\xi$ 。
当该级数发散，则说 $\xi$ 的期望不存在。
连续情况：设 $\xi$ 具有概率密度函数 $p(x)$ 的连续性随机变量，当积分 $\int_{-\infty}^{\infty}xp(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛时，称之为 $\xi$ 的数学期望或均值，记作 $E\xi$ ，即 $E\xi = \int_{-\infty}^{\infty} xp(x) \mathrm{d}x$
如果 $\xi$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则期望的定义为 $E\xi = \int_{-\infty}^{\infty}x\mathrm{d}F(x)$
方差variance：描述了随机变量对于其数学期望的偏离程度(dispersion)
定义：若 $E(\xi-E\xi)^2$ 存在，则称它为随机变量 $\xi$ 的方差，并记作 $D\xi$ ，而 $\sqrt{D\xi}$ 成为根方差、均方差、标准差(standard deviation)或波动率(volatility)。
离散情况下方差的计算 $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2$
或在加权情况下 $\sigma^2=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E\xi)^2p_i$
协方差(covariance)：不同随机变量偏离其期望的程度。
定义：称 $\sigma_{ij}=\mathrm{cov}(\xi_i,\xi_j)=E[(\xi_i-E\xi_i)(\xi_j-E\xi_j)]$ $i,j=1,2,\cdots,n$
称 $\rho_{ij}=\frac{\mathrm{cov}(\xi_i,\xi_j)}{\sqrt{D\xi_i}\sqrt{D\xi_j}}=\frac{\sigma_{ij}}{\sqrt{D\xi_i}\sqrt{D\xi_j}}$ 为 $\xi_i$ 和 $\xi_j$ 之间的相关系数(correlation coefficient)。
根据定义，可推得 $\mathrm{cov}(\xi_i,\xi_j) = E\xi_i\xi_j-E\xi_i\cdot E\xi_j$ $D(\sum_{i=1}^{n}\xi_i)=\sum D\xi_i + 2\sum_{1\le i< j\le n}\mathrm{cov}(\xi_j, \xi_j)$
当相关系数为正，称两随机变量正相关，负则负相关。

计算推导过程

假定两只投资标的的波动率(volatility)/标准差(standard deviation)分别为 $v_1=40\%, v_2=20\%$ ，求两只标的怎样持有才能保证风险最小。

推导过程：
有 $\sigma_1=0.4, \sigma_2=0.2$ ，相关系数为 $\rho_{12}$ 默认为0，求两个标的上分配的资金比例 $w_1, w_2$ 。
portfolio只有两个标的，于是有 $w_1+w_2 = 1$
组合的收益率表示为 $r=w_1 r_1+w_2 r_2$
组合的平均收益率为 $\overline r = w_1 \overline r_1 + w_2 \overline r_2$
组合的方差为
$\begin{aligned} \sigma^2 &= E(r-\overline r)^2 \\ \sigma^2 &= E((w_1 r_1 -w_1\overline r_1) + (w_2 r_2 -w_2\overline r_2))^2\\ \sigma^2 & =E(w_1r_1-w_1\overline r_1)^2 + E(w_2r_2-w_2\overline r_2)^2+2w_1w_2E((r1-\overline r_1)(r_2-\overline r_2))\\ \sigma^2 &=w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2+ 2w_1w_2\rho_{12} \end{aligned}$
根据前面已知条件，组合的方差可简化为 $\begin{aligned} \sigma^2 &= 0.16w_1^2 +0.04(1-w_1)^2\\ \sigma^2&=0.2(w_1-0.2)^2 +0.032 \end{aligned}$
根据上式，在 $w_1=20\%, w_2=80\%$ 的时候该portfolio的风险最小， $\sigma^2 = 0.032$ 。