2020 时序分析(17)

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平稳的时间序列

所谓平稳性时间序列，虽然每一 t 时刻随机变量都是独立，但是他们具有相似性，都服从相似的分布，所以才能够研究时间序列。

这里我们想一想如何计算相邻两个随机变量间自协方差，和其自己做协方差相关系数，原来对于 x 在 1 时刻只有一个观测值，因为在不同时刻 X 分布近似，我们通过借用其他时刻的随机变量观测值来组成一个向量表示随机样本。借用其他时刻前提就是需要我们时间序列平稳，这也就是我们为什么要研究平稳性的原因。
$\begin{bmatrix} x_1,x_2,\dots, x_t \end{bmatrix}$
通过上面方法我们还可以得到另一个 2 时刻 X 随机样本。
$\begin{bmatrix} x_2,x_3,\dots, x_{t+1} \end{bmatrix}$

因为是平稳序列，我们之前已经知道平稳序列的一个特点也就是跨度相同时间序列随机变量间的自相关系数相同。在平稳时间序列中，时间距离比较近随机变量间的自相关系数要大于距离较远随机变量间的相关系数。

平稳时间序列的统计性质

常数均值和方差
自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度，而与时间的起止点无关
- 延迟 k 自协方差函数
  $\gamma(k) = \gamma(t,t+k),\forall k 为整数$
  两个随机变量之间协方差与起点无关，只与他们之间跨度有关，大家理解一下。
- 延迟 k 自相关系数
  $\rho_k = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}$
  $\rho_k = \frac{\gamma(k)}{\sqrt{DX_t}\sqrt{DX_s}}$
  $DX = EX^2 - (EX)^2 = cov(X,X)$
  自己对自己方差就是协方差，这个概率论中知识，没有什么好说的。因为是跨越 0 步所以 $\sqrt{\gamma(0) \gamma(0) } = \gamma(0)$ 从而得到
  
  $\rho_k = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)}$

平稳时间序列的重大意义

极大减少了随机变量的个数，并增加了待估计变量的样本容量
极大地简化了时序分析的难度，同时也提高了对特征统计量的估计精度。

检验时间序列的平稳性

上面我们说了通过假定为平稳的时间序列更加便于研究，那么如何判断一个时间序列是平稳的时间序列呢，这就是接下来我们要讨论的内容。

第一种方法就是通过画图来直接观察，首先看图点是不是有趋势，也就是是不是随着时间总体有向上或向下的趋势，这样曲线就是不平稳性，然后在看有没有明显周期
第二种方法就是求自相关系数，我们上面讨论的延迟步数，也就是两个随机变量在时间上的平移长度。

随机性检验

我们这里所说随机性检验是建立在平稳序列基础之上，只有满足了平稳性。如果是随机就说明随机变量间没有信息的传递。如果序列是随机，那么随机变量就没有可以分析价值，但是并不是说我们就没有办法了，这里还有一本书随机过程来处理随机序列。这是一门研究生课程用于专门研究随机过程。随机时间序列也是可以看作白噪声，接下来我们数学方式描述一下
$EX_t = \mu , \forall t \in T$
$\gamma(t,s) = \begin{cases} \sigma^2 \, t = s \\ 0 \, t \neq s \forall t,s \in T \end{cases}$
从上面来看自相关系数为 0 表示没有每一两个随机变量间都是没有关系的，也就是信息向下传递。图像处理，研究一些波或者信号处理都用到白噪声。
检验白噪声就是检验序列是否为平稳的，只有平稳时间序列才能算上平稳时间序列。

$\gamma(k) = 0 \, \forall k \neq 0$