概念速查：多项式分布

2023-06-04  本文已影响0人  陆仔的自在生活

服从多项式分布的随机向量 \boldsymbol{X}=(X_1, X_2, ..., X_n) 满足如下条件：

1）X_i \ge 0 (i=1,...,n)，且X_1 + X_2 + ... + X_n =N；

2）设 m_1, m_2, ..., m_n 为任意非负整数，且 m_1+m_2,+...+m_n=N；

事件 \{X_1 = m_1, X_2 = m_2, ..., X_n=m_n\} 发生的概率为：

P(X_1 = m_1, X_2 = m_2, ..., X_n=m_n)=\frac{N!}{m_{1}! m_{2}!...m_{n}!} p_{1}^{m_1} p_{2}^{m_2} ... p_{n}^{m_n}
其中，p_i \ge 0 (i = 1, ..., n)，p_1+p_2,+...+p_n=1。

【举例】
一个6面的均匀骰子，投掷6次，投掷结果为：点数1五次，点数3一次，其余点数零次；该事件发生的概率为：
\begin{aligned} & P(X_1=5, X_2=0, X_3=1, X_4=0, X_5=0, X_6=0) \\ &= \frac{6!}{5! 0! 1!0!0!0!} \left(\frac{1}{6} \right)^{5}\left(\frac{1}{6} \right)^{0} \left(\frac{1}{6} \right)^{1} \left(\frac{1}{6} \right)^{0} \left(\frac{1}{6} \right)^{0} \left(\frac{1}{6} \right)^{0} \\ &= \frac{1}{6^{5}} \end{aligned}

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