[译] History of art paintings thr

题目：History of art paintings through the lens of entropy and complexity
从熵和复杂性的角度看艺术绘画的历史

艺术是人类创造力的最终表达，受到相应历史时代的哲学和文化的深刻影响。因此，对艺术进行定量分析对于更好地理解人类文化进化至关重要。在这里，我们对将近一千年的艺术史进行了近14万幅画作的大规模定量分析。基于这些绘画的图像中的局部空间模式，我们估计每幅绘画的置换熵和统计复杂度。这些措施将艺术品的视觉秩序程度映射为秩序—无序和简单—复杂的规模，局部反映了艺术史学家提出的定性类别。这些措施的动态行为揭示了艺术的明显时间演变，其特征是与艺术的主要历史时期相吻合的过渡。我们的研究表明，不同的艺术风格具有不同的平均熵和复杂度，因此可以根据这些指标进行层次化组织和样式聚类。我们进一步证实，所识别的群体与用于定性描述样式的文字内容非常吻合，并且所应用的复杂性－熵测度可以用于艺术品的有效分类。

物理学启发的方法已经成功地应用于包括经济和社会系统在内的广泛学科（1-3）。这类研究通常具有寻找控制这些系统动力学的基本原理和普遍性的目标（4）。近年来，这项研究的影响力和受欢迎程度一直在稳步增长，这在很大程度上是由于前所未有的大量数字信息可用于最多样化的主题，而且细节令人印象深刻。这种数字数据泛滥使研究人员能够将定量方法带入人类文化（5-7），流动性（8、9）和传播（10-12）以及文学（13），科学生产和同行的研究中评论（14-18），其规模甚至是十年前都无法想象的。视觉艺术的大规模定量表征将成为此类不可思议的研究目标之一，这不仅是由于数据短缺，而且因为人们通常认为对艺术的研究本质上是定性的。旨在表征视觉艺术的定量方法可以有助于人们更好地理解人类文化的演变，以及有助于诸如图像表征和分类等更多实际问题。

尽管当前一些研究的规模发生了巨大变化，但在艺术研究中使用定量技术却有一些先例。可以追溯到1933年美国数学家伯克霍夫（Birkhoff）编写的《审美测量》（Aesthetic Measure）（19），其中，美学定量测量的定义是顺序（图像中发现的规律性数量）和复杂性（图像中元素的数量）之间的比率）。然而，这种定量技术在艺术品表征中的应用是最近的。在开创性著作中，我们有Taylor等人的文章（20），在他的艺术生涯中，波洛克的绘画的分形维数越来越大。这篇研究文章可以被视为视觉艺术定量研究的里程碑，它激发了分形分析和相关方法在绘画中的真实性（21–25）的更多应用，并研究了特定艺术家的发展（26、27） ，特定绘画（28）和艺术家（29-31），艺术运动（32）以及许多其他视觉表达（33-35）的统计属性。这个新兴且迅速发展的研究领域的最新进展已在若干会议论文集和科学期刊的特殊期刊中全面记录（36-38），其中的贡献还集中在艺术品修复工具，身份验证问题和造型评估程序上。

迄今为止，从大型的艺术历史角度研究绘画的研究工作相对较少。 2014年，Kim等人（39）分析了29,000张图像，发现色彩使用分布在西方绘画的历史时期之间存在显着差异，而且，与这些绘画的灰度表示相关的粗糙度指数在过去几年中呈增长趋势。在最近的工作中，李等人（40）分析了近18万种绘画，重点是色彩对比的演变。除其他发现外，他们还观察到1850年后色彩对比的多样性突然增加，并表明相同数量的色彩可用于捕捉有关艺术风格的信息。值得注意的是，Manovich及其同事（41–43）也进行了创新研究，涉及通过估计平均亮度和饱和度来分析绘画和其他视觉艺术表现形式的大规模数据集。

但是，除了引入粗糙度指数外，沿类似线的先前研究主要集中于颜色轮廓的演变，而与视觉艺术中与像素相关的空间图案仍然知之甚少。在这里，我们对跨越数百年艺术史的近140,000个视觉艺术品图像进行了大规模的局部订购模式调查。通过计算与这些艺术品中像素排列的局部顺序相关的两个复杂性度量，我们观察到了清晰而鲁棒的时间演变。这种演变的特点是过渡时期与不同的艺术时期相吻合。此外，观察到的演变表明，这些时期在相应艺术品的像素排列中具有明显的顺序和规律性标记。我们进一步表明，这些复杂性度量部分编码了艺术历史的基本概念，而专家们经常使用这些基本概念来对艺术品进行定性描述。尤其是，复杂性度量根据像素排列中它们的平均顺序来区分不同的艺术风格，实现样式的分层组织，并且还能够自动将艺术品分类为艺术风格。

意义
绘画的批判性探究本质上是比较性的。 这限制了艺术专家在合理的时间内可以调查的艺术品数量。 大型数字化艺术品收藏的最新可用性使得可以通过使用计算方法来改变这种分析的规模。 我们的研究表明，从绘画中的局部空间有序模式估算出的简单的，受物理学启发的指标会编码有关艺术品的重要信息。 我们提供了可以很好地映射到艺术史中规范概念的数值尺度，并揭示了视觉艺术的历史性和可衡量的进化趋势。 它们还使我们能够根据绘画中的当地秩序程度来区分不同的艺术风格和艺术品。

结果
我们的结果基于从在线视觉艺术百科全书WikiArt（https://www.wikiart.org）获得的包含137,364个视觉艺术品图像（主要是绘画）的数据集。 该网页是最重要的免费视觉艺术资源之一。 它包含来自2,000多个不同艺术家的艺术品，涵盖了一百多种风格，跨越了一个千年的时期。 这些图像文件中的每一个都已转换为矩阵表示，其尺寸与图像的宽度和高度相对应，并且其元素是像素中红色，绿色和蓝色（RGB）阴影的平均值在RGB色彩空间。 有关更多详细信息，请参阅材料和方法。

从艺术品图像的矩阵表示形式，我们计算出两个复杂度度量：归一化排列熵H（44）和统计复杂度C（45）。如“材料和方法”中所述，这两种度量都是从顺序概率分布P评估的，该顺序分布P量化了局部像素范围内图像像素之间的顺序图案的出现。在这里，我们通过考虑大小为dx = 2乘以dy = 2像素（嵌入尺寸）的滑动分区来估计此分布，从而得出（dx dy）！ = 24种可能的顺序模式。 H值量化图像像素排列中的混乱程度：接近1的值表示像素随机出现，而接近零的值表示像素几乎总是以相同顺序出现。规则性更强的图像（例如Minimalism产生的图像）的熵值较小，而规则性较差的图像（例如Pollock的滴画）的熵值较大。统计复杂度C反过来衡量了图像中存在的“结构”复杂度（46，47）：对于像素排列中的有序和无序的极端而言均为零，而当图像呈现更为复杂时则为正。空间格局。结合使用C和H值作为判别工具会产生“复杂度-熵平面”（45，48），该技术已被证明在多种应用中有用。在这里，复杂度-熵平面是我们用来量化不同视觉艺术品特征的选择方法。

[44] Bandt C, Pompe B. Permutation entropy: a natural complexity measure for time series[J]. Physical review letters, 2002, 88(17): 174102.

[45] Lopez-Ruiz R, Mancini H, Calbet X. A statistical measure of complexity[J]. arXiv preprint arXiv:1009.1498, 2010.

艺术的演变
仔细比较不同的艺术品是艺术史学家了解这些年来艺术是否以及如何发展的主要方法之一。 例如，在这方面，海因里希·沃尔夫林（HeinrichWölfflin）（49）和阿洛伊斯·里格（Alois Riegl）（50）的作品可以被认为是基础作品。 他们建议通过一些视觉类别和定性描述符来区分不同时期的艺术品。 视觉比较无疑是评估艺术风格的有用工具。 但是，大规模应用是不切实际的。 这是计算方法发挥最大优势的时候。 尽管如此，有用的还是很重要的一点是，仍应根据熟悉且与学科相关的类别轻松地解释导出的度量。

我们注意到，复杂度-熵平面部分（局部地）反映了沃尔夫林线性与绘画的对偶概念以及Riegl对触觉与光学艺术品的二分法。沃夫林认为，“线性艺术品”是由清晰轮廓的形状组成的，而在“绘画艺术品”中，轮廓是微妙的和模糊的，用于合并图像部分并传递流动性的思想。同样，Riegl认为“触觉艺术品”将对象描绘为有形的离散实体，孤立并外接，而“视光艺术品”通过利用光，色和影效果创建深空空间连续体的概念，将对象视为深空中相互关联的对象。由复杂性-熵平面捕获的图像的像素排列中的顺序/简单性与无序/复杂性的概念部分编码了这些概念。由明显且轮廓分明的部分形成的图像会产生一些序数模式的许多重复，因此，线性/触觉艺术品用H的较小值和C的较大值来描述。另一方面，由相互关联的部分组成的图像由受污染的边缘定界，从而产生更多的随机图案，因此，绘画/光学艺术品有望产生更大的H值和较小的C值。还值得一提的是，沃尔夫林和里格尔的双重概念限制了代表一切可能性范围的代表形式（51）。在这方面，H和C值的连续性可以帮助艺术史学家对该等级进行分级。

在这种情况下，我们询问由H和C值定义的比例是否能够揭示艺术的任何动态特性。为了回答这个问题，我们在按日期对图像进行分组之后估计H和C的平均值。由于艺术品并非随时间均匀分布（请参见材料和方法），因此我们选择了在每个时间窗口中包含几乎相同数量图像的时间间隔。图1显示了多年来C和H平均值的联合演变（即，复杂度-熵平面的变化），其中观察到了清晰而稳健的趋势（SI附录，图S1）。 H和C值的轨迹表明，平均而言，在19世纪至17世纪之间生产的艺术品比在19世纪至20世纪中叶之间创作的艺术品更具规律性/有序性。另外，1950年以后生产的艺术品比前两个时期的艺术品更具规律性/订购性。我们进一步观察到，在19世纪之后，复杂度-熵平面的变化步伐加快了，这一时期与几种艺术风格（例如新古典主义和印象派）的出现以及颜色对比多样性的增加相吻合，Lee等人（40）观察到的。

由H和C值定义的图1中的三个区域与艺术史的主要划分非常吻合。 第一个时期（黑色矩形）对应于中世纪艺术，文艺复兴时期，新古典主义和浪漫主义，直到1850年代才发展起来（52）。 第二个时期（红色矩形）与现代艺术相对应，其特征是印象派于1870年代诞生，并在20世纪90年代初期发展了几种前卫的艺术风格（例如立体派，表现主义和超现实主义）。 20世纪。 最后，最新时期对应于现代艺术与当代/后现代艺术之间的过渡。 后现代时代开始的具体日期仍然是艺术专家之间激烈辩论的对象（52）。 尽管如此，还是存在一些共识，即后现代艺术始于1960年代波普艺术的发展（52）。

通过在复杂性-熵平面与沃尔夫林和里格的概念之间进行类比，现代主义和现代艺术之前产生的艺术之间的过渡代表了从线性/触觉到绘画/光学的代表模式的转变。因此，这与这样的观点是一致的，即文艺复兴时期，新古典主义和浪漫主义时期的艺术品通常代表彼此严格区分并被平面隔开的对象（49、53、54），而印象派，野兽派，点画派和表现主义等现代风格使用较宽松和弄脏的笔触进行标记，以免产生明显的边缘（49、53、54）。有趣的是，现代与后现代艺术之间的过渡以从绘画/光学到线性/触觉的表现方式更加强烈和迅速的变化为特征。这个事实似乎与后现代的艺术观念相吻合，因为它可以立即被识别，由普通物体制成并以大而清晰的边缘为标志（例如在《硬边绘画》和《欧普艺术》艺术品中（53，54）]。

Wölfflin和Riegl提出的艺术史概念认为，艺术是通过从线性/触觉到绘画/光学表示方式的转变而发展的，这与图1中观察到的第一个转变是一致的。但是，对于Riegl，这种发展 发生是通过单个连续过程（56）进行的，而沃尔夫林（Wölfflin）具有这种过渡的周期性概念，这似乎与H和C的整体动力学行为更为一致。 另一方面，这种周期性概念与复杂性-熵平面变化的局部持久性行为不兼容。 的确，最近对艺术史学家的研究，例如盖格尔（Gaiger）的著作（51），认为在分析艺术史的整个发展过程中，这两个概念都不成立。 对于盖格（Gaiger），沃尔夫林（Wölfflin）和里格（Riegl）的双重类别应被视为纯粹的描述性概念，不应与特定的变化联系在一起。

理解复杂性－熵平面揭示的动力学行为的潜在机理的另一种可能性是艺术的进化论（56、57）。 这些最近提出的理论从不同的角度考虑艺术，例如适应，大脑复杂性的副产品或旨在分享注意力的性选择和自然选择，并提出艺术的进化贡献是促进社会凝聚力和创造力。 根据这些理论，艺术史是由受众偏好与艺术家吸引注意力并扩大这些偏好的愿望之间的相互作用所驱动的。 艺术家和公众之间的这种反馈机制将促使艺术朝着前所未有的专业化，创新和多样性的方向发展，也可以解释是什么促使艺术家和艺术运动遵循图1所示的历史道路。

区分艺术风格
现在我们问复杂性熵平面是否能够区分数据集中的不同艺术风格。 为此，我们将图像按样式分组后计算H和C的平均值。 我们还将这种分析限制在92种样式中，每种样式均具有100幅以上的图像（相当于约90％的数据；有关每种图像的名称和数量，请参见SI附录，图S5）以获得平均值的可靠值。 。 图2表明，艺术风格散布在复杂度-熵平面上，并且大多数成对比较中H和C的平均值存在显着差异（〜92％；参见SI附录，图S7）。 但是，我们还会观察到具有统计上难以区分的平均值的样式。

我们进一步注意到，样式的排列方式与H和C的平均值随时间变化的总体趋势一致，在该趋势中，大多数后现代样式都位于比现代样式（例如表现主义）更小的熵和更大的复杂度值的区域中。 ，印象派和野兽派）。这种安排将不同的样式映射到一个连续的标尺中，其极端值部分反映了线性/触觉与绘画/光学表示方式的二分法。在显示C最高值和H最低值的样式中，我们发现极简主义，硬边绘画和色域绘画，这些样式都使用简单的设计元素进行了标记，这些元素由色彩的突然过渡很好地界定了（53） ，54）。显示C最小值和H最大值的样式（例如印象派，点画派和野兽派）的特征在于使用污迹和分散的笔触，并且还通过混合颜色以避免产生尖锐的边缘（53、54） ）。

艺术风格的层次结构
H和C的值表示关于图像像素局部排序的艺术风格之间的相似程度。 这个事实使我们能够根据本地顺序测试样式的可能层次结构。 为此，我们已经将复杂度-熵平面中的两种样式之间的欧几里德距离视为它们之间的不相似度量。 因此，两种艺术风格之间的距离越近，它们之间的相似性就越重要，而相隔较大距离的成对风格被认为彼此之间的差异就越大。 图3A显示了这些距离的矩阵图，我们定性地观察了样式组的形成。

为了系统地研究艺术风格之间的聚类，我们使用了Ward（58）提出的最小方差方法来构建距离矩阵的树状图表示。 此方法是一种层次化的聚类过程，它使用聚类内部差异作为合并聚类对的标准。 图3B描绘了这个树状图，揭示了我们数据集中艺术风格之间的复杂关系。 通过最大化轮廓系数（59）（如在材料和方法以及SI附录中的描述，图S8），我们发现0.03是最佳阈值距离，该距离最大程度地增强了样式簇之间的凝聚和分离。 这个阈值距离产生了14组样式，由图3中的不同颜色表示。

这些组部分反映了图1中报告的不同艺术风格的时间定位及其演变。特别是，出现在一起或时间上接近的几种风格在像素的局部排列方面相似，因此属于同一组。例如，图3B的前五个组主要包含后现代风格。另一方面，这些组及其层次结构以线性/触觉与绘画/光学的二分法界定的比例来组织有关其表示方式的样式。当在复杂性-熵平面中以顺序和规则性的极端来检查组时，这一事实更加明显。例如，图3B的最右边的组包含使用相对较小的画笔笔触并避免创建尖锐边缘的样式。这一事实在印象派，尖锐主义和分裂主义的艺术品中尤为明显，但在新巴洛克式和新浪漫主义以及壁画家（如戴维·西奎罗斯和何塞·奥罗斯科）的作品中也很明显。在P＆D（图案和装饰）的抽象绘画中。尽管P＆D专门用于图案绘画（例如印花织物），但被认为是极简主义和概念艺术（位于复杂性的另一极端-熵平面）的“反应”，可避免通过细微的方式限制构图像罗伯特·扎卡尼奇（Robert Zakanitch）的著作中所说的那样，对色彩进行调制。他被认为是P＆D的创始人之一（60）。当我们进入以高复杂度和低熵为特征的群体时，我们观察到以锋利的边缘和非常鲜明的图案为特征的样式的聚类，这些样式通常是由孤立的部分或与无关材料组合而成。包含欧普艺术，波普艺术和建构主义的小组就是这种情况，但由动能艺术，硬边绘画和混凝土主义组成的小组也是如此（53、54）。

我们还可以通过将图3B的聚类与基于每种艺术风格的Wikipedia页面的文本内容之间的相似性的方法进行比较，来验证这些组的意义。 为此，我们获得了这些网页的文本内容，并通过使用术语频率-逆文档频率方法（61）提取了每个网页的前100个关键字。 我们将1的倒数加上两种样式之间共享关键字的数量视为它们之间相似性的量度。 因此，没有通用关键字的样式的最大“距离”为1，而共享多个关键字的样式的距离更近。

通过使用与图3中使用的相似的层次聚类过程，我们从Wikipedia文本分析（SI附录，图S9）中获得了24个艺术风格聚类。该类的数量远远大于从复杂性-熵平面获得的14个类。但是，这两种聚类方法都具有相似性，可以通过使用聚类评估指标同质性h，完整性c和v度量来量化相似性（62）。完全同质性（h = 1）意味着从Wikipedia文本获得的所有聚类仅包含属于从复杂性-熵平面获得的相同聚类的样式。另一方面，完全完整性（c = 1）表示，从复杂性-熵平面获得的属于同一类的所有样式都归类于从维基百科文本获得的同一类。 v度量是h和c之间的谐波平均值，即v = 2hc /（h + c）。我们的结果得出h = 0.49，c = 0.40和v = 0.44，这些值明显大于从零模型获得的值，在该模型中，共享关键字的数目是从0到100之间的均匀分布中随机选择的（h rand = 0.42 ±0.02，c rand = 0.35±0.01，v rand = 0.38±0.01； 100个实现中的平均值）。因此，两种聚类方法之间的相似性不能偶然地解释。该结果表明，尽管我们的复杂度度量法具有非常局部的特征，但是H和C的值反映了一些用于描述艺术风格的关键字的含义。

预测艺术风格
量化由H和C值编码的信息的另一种可能性是尝试仅基于这两个值来预测图像的样式。为此，我们实现了四种著名的机器学习算法（63、64）（最近邻居，随机森林，支持向量机和神经网络；有关详细信息，请参见材料和方法），以进行预测任务的分类任务。所有20种样式的图像样式，每个样式包含1,500多种艺术品。对于每种方法，我们使用n = 10的分层n倍交叉验证（63）策略估计算法主要参数值范围的验证曲线。图4A显示了k-的验证曲线。最近邻作为邻居数量的函数。我们注意到，如果邻居的数目小于〜250，则此方法不适合数据。相反，如果邻居为300或更多，则交叉验证得分会在〜0.18处饱和，并且不会过度拟合多达500个邻居。统计学习的另一个相关问题与正确训练模型所需的数据数量有关。为了对此进行研究，我们再次使用n = 10的分层n折交叉验证策略来估计学习曲线。图4B显示了k个近邻的训练和交叉验证分数，我们观察到这两个分数都随着训练规模的增加而增加。但是，当使用约50％以上的数据来训练模型时，这种增强作用很小。 SI附录，图S10示出了与通过其他三种机器学习算法获得的与图4中呈现的结果类似的结果。

通过将先前的分析与网格搜索算法相结合，我们确定了增强每种统计学习方法性能的参数的最佳组合。图4C显示四种算法显示出相似的性能，所有算法的准确度均接近18％。我们将这些精度与从两个虚拟分类器获得的精度进行了比较。在分层分类器中，样式预测是偶然地但遵循样式的分布而生成的，而使用统一分类器时，预测是随机随机地均匀绘制的。图4C中的结果表明，所有机器学习算法的准确性都比偶然获得的准确性高得多。因此，该结果证实了H和C的值编码有关每个艺术品样式的重要信息。但是，对于实际应用而言，所获得的精度是相当低的。确实，还有其他更准确的方法。例如，Zujovic等。 （65）在一项分类任务中，从353种来自五种风格的绘画中获得了约70％的准确度，而Argarwal等人（1997）。 （66）报告说，对10种样式的3,000幅画进行分类任务，其准确率约为60％。但是，我们的结果无法与这些作品直接进行比较，因为它们使用的是更小的数据集，具有较少的样式和多个图像特征，而我们的预测仅基于两个特征。我们的方法代表了严重的降维，因为大约100万像素的图像由与图像像素的局部排序有关的两个数字表示。在这种情况下，在20种样式和100,000多种艺术品的分类中，准确度为18％不可忽略。此外，H和C的局部性质使得这些复杂性度量非常快速，易于并行化并且从计算角度来看是可伸缩的。因此，除了表明复杂度-熵平面编码了有关艺术风格的重要信息外，我们认为H和C的值以及其他图像特征可能会提供更好的分类分数。

讨论和结论
我们已经提出了一个数据集的大规模表征，该数据集由横跨近一千年的艺术史的近14万张艺术品图像组成。 我们的分析基于两个相对简单的复杂性度量（置换熵H和统计复杂性C），这些度量与这些图像的像素中的序数模式直接相关。 这些措施将这些艺术品的当地有序程度映射为有序-无序和简单-复杂的规模，在一定程度上反映了沃尔夫林和里格提出的对艺术品的定性描述。 该比例尺的极限对应于这些艺术史学家提出的两种极端的表示模式，即线性/触觉（H≈0和C≈0）和绘画/光学（H≈1和C≈0）之间的二分法。

通过调查所使用的复杂性度量的平均值的动态行为，我们发现了多年来在复杂性-熵平面上清晰，稳健的艺术轨迹。这种轨迹的特征是与艺术史的主要时期相吻合的过渡。这些过渡可以分为线性/触觉到绘画/光学（在现代艺术之前和之后）和绘画/光学到线性/触觉（在现代和后现代艺术之间的过渡），这表明每个历史时期都有不同程度的熵和复杂性。虽然沃尔夫林关于线性和绘画之间的周期性过渡的艺术史观并不能承受H和C值在当地的持续时间，也不能抵制Gaiger（51）和其他当代艺术史学家的严格审查，但这与复杂性-熵平面中描绘的全球演化。对于沃尔夫林来说，从线性到绘画的过渡受“自然规律与物理生长的规律相同”的支配，并且“确定这一规律将是一个中心问题，即艺术史的中心问题”（参考资料49，第17页）。然而，回归线性“肯定是在外在情况下”（参见第49页，第233页），并且在图1的背景下，不难设想从现代到后现代的转变是由第二次世界大战的结束，这一事件通常标志着历史书籍中的后现代主义的开始。

除了揭示艺术的这一动态方面，H和C的值还可以根据相应作品的平均熵-复杂度来区分不同的艺术风格。我们强调，每种样式在复杂性-熵平面中的位置部分地反映了线性/触觉与绘画/光学对偶的对偶性，因此可以视为量化这些对立表示方式使用的标尺。同样，复杂度-熵平面中的样式对之间的距离代表了关于这些艺术史概念的相似性度量。通过使用这些距离，我们发现不同的样式可以根据它们在平面上的位置进行分层组织和分组。我们已经证实，这些组很好地反映了用于描述每种样式的Wikipedia页面的文本内容，并且还反映了它们之间的一些相似之处，尤其是在存在软/有污点/漫射或定义明确/清晰/突变的过渡方面。我们通过分类任务进一步量化了在这些复杂性度量中编码的信息量，在该分类任务中，仅基于H和C的值来预测图像的样式。所获得的大约18％的成功率胜过虚拟分类器，这又表明这两种方法带有关于艺术品样式的有意义的信息。

由于我们的两种复杂性衡量标准完全基于艺术品的当地规模，因此它们当然不能捕获艺术品的所有独特性和复杂性。 但是，我们的结果仍然表明，可以将简单的，受物理学启发的度量标准与艺术史学家提出的概念联系起来，更重要的是，这些度量标准确实包含有关艺术品，其风格及其演变的相关信息。 在沃尔夫林关于艺术发展的隐喻的背景下：“仔细观察肯定很快就会发现，即使在这里，艺术也没有回到它曾经站立过的地步，而只有螺旋运动才能满足事实。” （参见第49页，第234页），我们可以将复杂性熵平面视为沃尔夫林螺旋形的可能投影之一。