数学思维

数学思维（刘润）

吴军老师是我特别敬佩的一位老师。他是计算机科学家，是自然语言处理技术的先驱者，是谷歌公司的智能搜索科学家，是腾讯公司的前副总裁，同时也是硅谷著名风险投资人、畅销书作家。

他著有《数学之美》《浪潮之巅》《硅谷之谜》《智能时代》《文明之光》《大学之路》《全球科技通史》《见识》《态度》等，本本都是超级畅销书。我和我儿子小米，都是他的书迷。

同时，他还是教育专家、古典音乐迷、优秀的红酒鉴赏家，酷爱逛博物馆，见过90%以上世界名画的真迹，精通历史、艺术、哲学、摄影、投资、商业……他在任何一个领域的成就单拿出来，都让普通人望尘莫及。

吴军老师在得到开设了六门课程，分别是《硅谷来信》《谷歌方法论》《信息论40讲》《科技史纲60讲》《吴军讲5G》以及《数学通识50讲》。从信息论到科技史，到5G通信技术，到数学，吴军老师的涉猎之广、研究之深，让人深深叹服。

我特别喜欢跟吴军老师聊天，每一次聊天都让我收获巨大。有一次，趁着吴军老师回国，我约他吃饭聊天。下面我把我和吴军老师的部分聊天内容分享给你。

信息论、科技史、谷歌方法论、5G、数学……我一直特别好奇，吴军老师的大脑是怎么装下这么多东西，又理解得如此深刻的。吴军老师说，他所讲的这些内容，其实都是他工作以来的沉淀。

吴军老师是美国约翰·霍普金斯大学的计算机博士，后来在谷歌担任智能搜索科学家。他所研究的内容是语音识别和自然语言处理，这需要有非常深厚的信息论、信息技术、通信技术以及数学功底。而他的课程内容，就来自这些积累。区别在于，做成课程需要用更通俗的方式，把那些晦涩的专业知识讲出来，让每一个人都能够听得懂。

吴军老师有一门课是《数学通识50讲》，为什么选择讲数学呢？

“数学”这个主题，是很多老师（比如我，虽然我大学时读的就是数学专业）想讲却不敢讲的，因为它太难了。数学这两个字，简直是很多人的噩梦，甚至有同学在填报高考志愿的时候说：“只要不学数学，让我干什么都可以！”

确实，数学很难。很多人学了十几年数学，直到走上工作岗位，还不知道数学到底有什么用。除了相关专业的工程师，现在有几个人还记得大学学过的微积分、概率论和线性代数？

那么，学数学到底有什么用？作为一个普通人，也要学数学吗？

吴军老师说，是的，每个人都一定要学数学，因为它实在太有用了。

学数学，对大部分人来说，不是为了解数学题，也不是为了当数学家，而是为了培养数学思维。数学思维不仅能让你站到更高的高度，开拓你的眼界，还能帮你了解一些正确的常识，让你少走弯路，并且让你在人生的每一个岔路口都有更多的选择。

今天我能够给企业做战略咨询，能够快速洞察一个事物的本质，最根本的能力就来自数学思维。

很多人会说：“数学也太难了，我学不会怎么办？”其实，解数学题也许很难，数学考试拿满分也许很难，但是，只要你愿意，培养自己的数学思维并不难。

下面我介绍五种数学思维。这五种数学思维，让吴军老师和我自己都受益匪浅。

从不确定性中找到确定性

第一种数学思维，源于概率论，叫作“从不确定性中找到确定性”（见图2-14）。假如一件事情成功的概率是20%，是不是就意味着，我重复做这件事5次，就一定能成功呢？很多人会这样想，但事实并不是这样。如果我们把95%的概率定义为成功，那么，这件20%成功概率的事，你需要重复做14次，才能成功。换句话说，你只要把这件20%成功概率的事重复做14次，你就有95%的概率能做成。

图2-14　从不确定性中找到确定性

计算过程如下，对公式头疼的朋友可以直接略过：

做一次失败的概率为：1-20%=80%=0.8

重复做n次都不成功的概率是：80%n=1-95%=5%=0.05（重复做n次至少有1次成功的概率是95%，就相当于重复做n次、每一次都不成功的概率是5%）

所以，重复做14次，你成功的概率能达到95%。

如果你要达到99%的成功概率，那么你需要重复做21次。

那想达到100%的成功概率呢？对不起，这个世界上没有100%的成功概率，所有人想要做成事，都需要一点点运气。

我们经常说“正确的事情，要重复做”，这其实就是概率论的通俗表述。

所谓“正确的事情”，指的就是大概率能成功的事情。而所谓的“重复”是什么？其实，学会了概率论，我们就对重复这件事有了定量的理解。

在商业世界中，20%的成功概率已经不算小了，毕竟，你只要把这件事重复做14次，你的成功概率就能达到95%。

理解了这一点，你就会知道，一次创业就成功的概率太小了，所以，你在融资的时候，不能只做融资一次的打算，而需要做融资更多次的打算。

很多人还想过另一个问题：假如我在一个领域成功的概率是1%，那么我同时做20个领域，是不是与在一个领域达到20%成功概率的效果是一样的？

如果我们依然把95%的概率定为成功的标准，那么1%成功概率的事情，你需要重复做298次。而这，还只是一个领域。

这就像很多人会问：“我是成为一个全才，把20个领域都试个遍更容易成功，还是成为一个专才，在一个领域深耕更容易成功？”概率论会告诉你，成为一个专才，成功的可能性更大。

理解了这一点，你就会明白，创业要专注，不要做太多事。如果做太多事，你本来20%的成功概率就只剩1%了，你成功的可能性就会更小。

你看，虽然这个世界上没有100%的成功概率，但是只要重复做大概率成功的事情，你成功的概率就能够接近100%。这就是从不确定性中找到确定性。这是概率论教会我们最重要的思维方式。

我们学习概率论，不是为了去算题，而是为了理解这种思考方法，这样，在做人生选择的时候，就能选对那条大概率成功的道路。

用动态的眼光看问题

第二种数学思维，源于微积分，叫作“用动态的眼光看问题”（见图2-15）。

图2-15　用动态的眼光看问题

很多人一听到“微积分”，就想起那些复杂的微分方程、积分方程，就会头疼。别怕，我们不谈方程，只谈微积分的思维方式。微积分的思维方式其实特别简单，也正因为简单到极致，所以非常漂亮。

微积分是牛顿发明的，他为什么要发明微积分呢？是为了“虐”后世的我们吗？当然不是。

其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。比如，我知道一段距离的长短和走完这段距离的时间，就可以算出一个平均速度。但是，每个瞬间的速度，我并不了解。于是，牛顿就发明了微分，用“无穷小”这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。而积分与微分正好相反，它反映的是瞬间变量的积累效应。

那么，到底什么是微积分？

我举个简单的例子。一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生一个加速度。但有了加速度，并不会瞬间产生速度。当加速度累积一段时间后，才会产生速度。而有了速度，并不会瞬间产生位移。当速度累积一段时间后，才会有位移。

宏观上，我们看到的是位移；微观上，整个过程是从加速度开始累积的——加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。这就是积分。

反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度经过了一段时间的累积。而物体之所以会有速度，是因为加速度经过了一段时间的累积。位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。宏观上我们看到的位移，微观上其实是每一个瞬间速度的累积。而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度。这就是微分。

那么，微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？

理解了微积分，你看问题的眼光，就会从静态变为动态。

加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。其实人也是一样。你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能力。你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。而你有了能力，并不会马上做出成绩。你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。你的成绩，得累积一段时间，才会使你得到领导的赏识。

从努力到能力，到成绩，到赏识，是有一个过程的，有一个积分的效应。

但是你会发现，生活中有很多人，在开始努力的第一天，就会抱怨：“我今天这么努力，领导为什么不赏识我？”他忘了，想要得到领导的赏识，还需要一个积分的效应。

反过来说，有的人可能一直以来工作都做得很好，但是从某个时候开始，因为一些原因，慢慢懈怠了。他的努力程度下降了，但是他的能力并不会马上跟着下降。可能过了三四个月，能力的下降才会慢慢显示出来，他会发现做事情不像以前那么得心应手了。又过了三四个月，他做出来的东西，领导开始越来越看不上了。在某一瞬间，很多人会觉得“有什么大不了的，我不过就是这一件事没做好呗”，但他忘了，这其实是一个积分效应，早在七八个月前他不努力的时候，就给这样的结果埋下了种子。

努力的时候，都希望大家瞬间认可，而出了问题后，却不去想几个月之前的懈怠。这是很多人都容易走进的思维误区。

而如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可；你就会拥有一个平衡的心态，避免犯这样的错误。

吴军老师经常讲一句话，叫作“莫欺少年穷”。其实，从本质上来说，这也体现了微积分的思维方式。少年虽穷，虽然目前积累的还很少，但是，只要他的增速（用数学的语言来说，叫导数）够快，经过五年、十年，他的积累会非常丰厚。

吴军老师还给年轻人提过一个建议：不要在乎你的第一份薪水。这其实也体现了微积分的思维方式。一开始拿多少钱不重要，重要的是增速（导数）。

微积分的思维方式，从本质上来说，就是用动态的眼光看问题。一件事情的结果，并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应造成的。出了问题，不要只看当时那个瞬间，你只有从宏观一直追溯（求导）到微观，才能找到问题的根源所在。

公理体系

第三种数学思维，源于几何学，叫作公理体系

（见图2-16）。

什么是公理体系？比如，几何学有一门分科，叫作欧几里得几何，也被称为欧氏几何。欧氏几何有五条最基本的公理：

（1）任意两个点可以通过一条直线连接。

（2）任意线段能无限延长成一条直线。

图2-16　公理体系

（3）给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作圆。

（4）所有直角都彼此相等。

（5）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

公理，是具有自明性并且被公认的命题。在欧氏几何中，其他所有的定理（或者说命题），都是以这五条公理为出发点，利用纯逻辑推理的方法推导出来的。

从这五条公理出发，可以推导出无数条定理。比如：每一条线的角度都是180度；三角形的内角和等于180度；过直线外的一点，有且只有的一条直线和已知直线平行……这构成了欧氏几何庞大的公理体系。

如果说公理体系是一棵大树，那么公理就是大树的树根。

而在几何学的另一门分科罗巴切夫斯基几何中，它的公理体系又不一样了。

从罗巴切夫斯基几何的公理出发，可以推导出这样的定理：三角形的内角和小于180度；过直线外的一点，至少有两条直线和已知直线平行。这跟欧氏几何是完全不同的。（罗巴切夫斯基几何虽然看上去好像违反常识，但它解决的主要是曲面上的几何问题，和欧氏几何并不冲突。）

因为公理不同，所以推导出来的定理就不同，因此罗巴切夫斯基几何的公理体系和欧氏几何的公理体系也完全不同。

在几何学中，一旦制定了不同的公理，就会得到完全不同的知识体系。这就是“公理体系”思维。

这种思维在我们的生活中非常重要，比如，每家公司都有自己的愿景、使命、价值观，或者说是公司的基因、文化。因为愿景、使命、价值观不同，公司与公司之间的行为和决策差异就会很大。

一家公司的愿景、使命、价值观，其实就相当于这家公司的公理。公理直接决定了这家公司的各种行为往哪个方向发展。所有的规章制度、工作流程、决策行为，都是在愿景、使命、价值观这些公理上生长出来的定理。它们构成了这家公司的公理体系。

而这个体系，一定是完全自洽的。什么叫完全自洽？就是一家公司一旦有了完备的公理体系，其实就不需要老板来做决定了，因为公理能推导出所有的定理。不管公司以后会怎么发展，会遇到什么情况，只要有公理存在，就会演绎出一套能够解决问题的新的法则（定理）。

如果你发现你的公司每天都需要老板来做决定，或者公司的规章制度、工作流程、决策行为和公司的愿景、使命、价值观不符，那说明公司的公理还不完备，或者你的推导过程出现了问题。这个时候，你就需要修修补补，将公司的公理体系一步步搭建起来。

我曾跟小伙伴说：“我在公司只做三件事，设置责权利、捍卫价值观和做一只安静的内容奶牛。关于责权利法则，我们只有一条公理——创造最大价值的人，获得最大的收益。所有的制度安排，都是我用我有限的智商，根据这条公理推演出的定理。任何制度安排（定理），如果违背了唯一的公理，那一定是我的智商不够用导致的。我会为我的智商道歉，然后坚定地修改制度安排（定理）。如果我拒不改正，或者动摇了公理，请毅然决然地离开我。那个我，不值得你们跟随。我们因为有相同的公理体系，而彼此成就。”

公理没有对错，不需要被证明，公理是一种选择，是一种共识，是一种基准原则。

制定不同的公理，就会得到完全不同的公理体系，也就会得到完全不同的结果。

数字的方向性

第四种数学思维，源于代数，叫作“数字的方向性”（见图2-17）。

图2-17　数字的方向性

我们学代数，最开始学的是自然数，包括0和正整数（0，1，2，3，4，5，…）；然后学的是整数，包括负整数和自然数（…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…）；之后学的是有理数，包括整数和分数。

在学习分数之前，在我们的认知中，数字是离散的，是一个一个的点。而有了分数，数字就开始变得连续了。这就像在生活中，一开始你看事情，看的是对和错、大和小。慢慢地，你认识到世界其实并没有这么简单，你看事情开始看到灰度。

在有理数之后，我们又学了无理数。无理数，就是无限不循环小数，比如π。任何一个有理数，都可以由两个数相除而得来。但是无理数是无限不循环的小数，你找不到任何规律。这会让你认识到，在这个世界上，有些事情就是复杂到没有规律。π就是π，根号就是根号，它就是很复杂，你不要试图用简单粗暴的方式来定义它。你要承认它的客观存在，承认这个世界的复杂性。

你看，我们不断地深入学习各种数，其实是在一步一步地理解世界的复杂性。

往更复杂的程度上说，数这个东西，除了大小，还有一个非常重要的属性：方向。在数学上，我们把有方向的数叫作向量。

数，其实是有方向的。认识到这一点对我们的生活有什么用呢？

举个例子。假如你拖着一个箱子往东走，你的力气很大，有30牛顿。这时来了一个人，非要跟你对着干，把箱子往西拉，他力气没你大，只有20牛顿。结果如何呢？这个箱子还是会跟着你往东走，只不过只剩下10牛顿的力，它的速度会慢下来。

这就像在公司里做事，两个人都很有能力，合作的时候，如果他们的能力都能往一个方向使，形成合力，那么这是最好的结果。但如果他们的能力不能往一个方向使，反而彼此互相牵制，那么可能还不如把这件事完全交给其中一个人来做。

还有一种情况：做同一件事情，有的人想往东走，有的人想往西走，有的人想往北走，而你并不知道哪个方向是正确的。这时，你想要的，不是合力的大小，而是方向的相对正确性。那你该怎么办呢？

你就让他们都去干这件事吧。虽然大家的方向不同，彼此会互相牵制，力的大小也会有损耗，但是最终事情的走向，会是那个相对正确的方向。

全局最优和达成共赢

第五种数学思维，源于博弈论，叫作“全局最优和达成共赢”（见图2-18）。

图2-18　全局最优和达成共赢

什么是博弈论？我们每天都要做大大小小的决策。比如，今天是喝咖啡还是喝茶，这就是一个决策。但这个决策只跟自己有关，并不会涉及别人。而在生活中，有一类决策，是需要涉及别人的。涉及别人的决策逻辑，我们把它叫作博弈论。

比如，下围棋就是典型的博弈。每走一步棋，我的所得就是你的所失，我的所失就是你的所得。这是博弈论中典型的零和博弈。

在零和博弈中，你要一直保持清醒：你要的是全局的最优解，而不是局部的最优解。

比如，下围棋的时候，不是在每一步上，你都要吃掉对方最多的子。你要让终局所得最多，就要步步为营，讲究策略，有时候，让子是以退为进。

很多时候经营公司也是一样，不要总想着每件事情都必须一帆风顺，如果你想得到最好的结果，可能在一些关键步骤上就要做出一些妥协。

除了零和博弈，还有一种博弈，叫作非零和博弈。非零和博弈讲究共赢。共赢的前提，是建立信任，但建立信任，其实特别不容易。

假如市场上需要100万台冰箱，一个厂家发现了这个需求，决定马上生产100万台冰箱。第二个厂家发现了这个需求，也决定马上生产100万台。第三个厂家也决定马上生产100万台……结果，每一个厂家都生产了100万台，供大于求，大部分厂家都会遭受很大的损失。

如果这时，大家能够建立起信任，商量好10个厂家每个都只生产10万台，就正好能够满足需求，使每个厂家都能够赚到钱，达成共赢。

但是，只要有一个厂家没有遵守约定，比如别人都生产10万台，它却生产了30万台，就会导致大家都因此遭受损失。

建立信任，特别不容易，但是在商业世界里，这是非常重要的。那么，怎么才能建立信任呢？

我给你两个建议：

第一，你要找到那些能够建立信任的伙伴。有些人，你是永远都无法和他达成共赢的，这样的人你就要远离。

第二，你要主动释放值得信任的信号。你要先让别人知道你是值得信任的人，这样，想要与你达成共赢的人才会来找到你。

小提示

这五种数学思维——从不确定性中找到确定性、用动态的眼光看问题、公理体系、数字的方向性，以及全局最优和达成共赢，我希望你能把它们看懂，并且把它们运用到工作和生活中。

我也希望能借此向你传达一个观念：数学不难，真的不难。你不一定要会解大部分数学题，不一定要能背下来所有的公式，不一定要在数学考试中拿满分，但是你至少要训练自己的数学思维。训练数学思维，是为了让自己拥有符合规律的思维方式。

孔子说：“三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲不逾矩。”所谓“从心所欲不逾矩”，不是说你要约束自己，让自己想做的事情不越出边界，而是你会因为拥有符合规律的思维方式，所以做的事情根本就不会越出边界。

这，就是从心所欲的自由。