矢量（vector）

一、单位矢量

单位矢量是指那些模为1的矢量，单位矢量也被称为归一化的矢量（normalized vector），对给定的非零矢量，把他转换成单位矢量的过程被称为归一化（normalization）。

image.png
零矢量，矢量每个分量为0，无法被归一化

二、矢量的点积

点积（dot product），也被称为内积（inner product），点积的结果是一个标量
1、公式：

image.png
点积满足交换律：
image.png
2、几何意义
（1）投影（projection）
aˆ·b，单位向量a点乘向量b，表示向量b在单位向量a上的投影，如果向量a不是单位向量，则需要乘以向量a的长度
image.png
（2） image.png
两向量的点积等于两向量的模相乘再乘两向量的夹角余弦值，如果两向量为单位向量，则两向量的点积为两向量的夹角的余弦值
3、性质
（1） image.png
点积可以和标量相乘
（2） image.png
点积和矢量加减法结合
（3） image.png
一个矢量和自身点积，是该矢量模的平方

三、矢量的叉积

叉积（cross product），又被称为外积（outer product），叉积的结果是一个矢量。
1、公式

image.png
叉积不满足交换律：
image.png
但是满足反交换律：
image.png
不满足分配率：
image.png
2、几何意义
（1）
image.png
a×b的模，是向量ab的模的乘积再乘两向量夹角正弦值，这个正是平行四边形的面积公式
（2）叉乘结果的矢量方向
a×b得到的矢量是一个垂直于向量ab的新向量
image.png