自然数的构建过程——从最基本的现实世界开始理解自然数
什么是自然数？
你可能会被小孩问：姐姐，什么是自然数？
妳告诉他，自然数就是0,1,2,3,4,5.... 不断地数下去，数到无穷大。
小孩说：哦，是这样。
这种不严格化的定义，已经可以让我们大概地辨认以下的数系，它看起来像自然数，但又好像不是：
- 例子1： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5.... 想象一个神经病饭后一直在数自己左手的手指，每当数完一次他会激动地拍一下手，代表他又归于零，重头开始数。
- 例子2： 0, 1, 2, 3,4, 5,6,7,8,9.... 65531,65532,65533,65534, 65535, 0, 1,2...
- 例子3： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,1,2,3 另一个神经病数脚指头，但他数到头之后他从1继续。
- 例子4：0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10, ....
我们看见例子1，例子3，我们说这只是自然数的一部分，它不是自然数，毕竟，少量的东西你可以拿手指比，要说清楚脚毛有多少的话，手指明显是不够的；
例子2 是一个计算机内存字长表示的非负整数的范围，如果规定槽位就是16字长，你说这也不能算是自然数系，还有比65535更大的数。
对于例4，这个太奇怪了，我们忽略 x.5的所有数，这个数系也能一直数下去，但是，那些 x.5 好像对于我们数数没有任何帮助，似乎是多余的东西。
自然数在数学领域内有严格的公理化定义。
以下两条公理符合人类最直观的观念（虽然符号0的出现经历了漫长的历史进程,但我们的语言里很早就有类似”无“，”空“之类的概念）
公理1. 0是自然数 ——首先，自然数里面得有一个 0 ，现实世界充满了很多从无到有的模型，况且在我们有限的视界里，好像万物总得有个起始点；
公理2. 如果n是自然数，那么n++（n的后继) 也是自然数
运用这两条公理，我们可以将数字不断地数下去，欠缺的是一个数字表示法，中国人用 “一”表示0的后继(0++), 罗马人的0++是“I”（这只是一个符号），然后用 ‘2’表示 1++，‘3’表示 (1++)++。当然我们最熟悉的记号是阿拉伯数字 ‘1’ 。从符号的角度，争论 0 是不是自然数意义不大，在公理化的体系中， 0 代表的只是自然数的“起点”，用 1 来表示也不影响其基本的性质。
来自搜狗输入法中的一个符号表
经过一些初等数学训练的人会知道，阿拉伯数字可以表示非常大的数字，对于量级的增加只要不断在原有的数字后面加 0 就可以。
100000000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000
这是一个天文数字，1后面有99个0，现在我们有更简便的记号，其意思颇有人类语言的意思(对这么多0的数字，我们不会傻呵呵地念yi ling ling ... 念99遍，我们会说，1后面跟着有99个0）——1×10e99
例子 2 可以看到，计算机体系里的整数和自然数不是对应的，我们知道 C++ 的整型，无论是短整型，还是 32 位整型，还是 64 位长整型，不断地自增，计算其后继，它终究总是会溢出，然后可能就要回到起点，设想一个 32 槽的位置上填满了 1，这个数的后继应该如何表示——你想让它继续保持自然数可以不断数下去的特征，必须要加一个槽，33 位，但是无论多少位，我们总是会填满，填满之后又要加槽，否则数字就会回归。
历史上确实也有过 15 位，24 位，48 位这种计算机(2 的幂次位的优势在于寻址可以快速进行移位运算, 所以基本上现在的计算机体系结构机器字长都是被设计成了 2 的幂次家族了)，这个位数代表你打算放多少个槽来装数，槽位有限，表示的数的范围就必定有限。就像十进制，一旦规定了位数，它的最大数我们就知道了。
工程实践中，我们不能一直把槽位扩充下去，但是谁也无法预料人类到底会用多大槽，总是对应一个具体的现实模型，而理论不能允许任何模型产生不自恰，计算机系统采用 2 的幂次来界限整数，它在内存中对整数的表示总是有限的。如果只有上面的两条公理，我们会特别地得到一个跟计算机类似的自然数模型：数着数着会数回 0，16 位内存整型数 65535 的后继是 0，这个 0 到 65535 的数字系统完全符合这两条公理——可见这个定义还是不够严格的。
所以为了让自然数能有更加抽象、通用、严格的定义，必须补充一个特性，不能让它数着数着就数回起点——这该怎么说？
第三条公理：
3. 0 不是任何自然数的后继。
这样的话。保证了数字不会数回 0 ，但是还是不够，它还能数到一个非0的自然数起点。
设想一个单链表，一个节点代表一个自然数，如果只有公理1-3，可以构造一种可能的奇怪数系是这样的：
0->1->2->3->4->5->6->7->8->9->1
所以为了避免这种不好的情况，于是有第四条公理:
4. 不同的自然数的后继不相同。
上面的数系不满足第四条公理，因为 0 和 9 的后继都是 1。
看上去公理 1 到公理 4大致上可以描述我们脑海中自然数的样子，只是对于例子 4，这组奇怪的数字，竟然也满足四条公理——我们还需要一条规则将这种“病态”的例子排除在外
我们不能这样说：自然数不含小数，或者不含有理数，实数，其他数。
为什么？
虽然公理化定义数系是最近一百多年的事情，1889 年，皮亚诺在《用一种新方法陈述的算术原理》 Arithmetices principia: nova methodo expostita 对自然数进行公理化定义时，自然数的模糊概念已经在人们的脑海中存在了几千年，这个时间点虽然有理数，实数，复数也已经出现，但它们上没有类似的公理化定义，因此在这个算数系统中，实数，整数，有理数，复数都是属于尚未定义的对象。
也许小孩会问，姐姐，既然不能用尚未定义的东西做定义，那么可以用尚未定义的东西构造反例吗？
例子 4 使用了实数。对于这一点，确实是这样，这些“杂质”元素必须先定义，例子 4 才是完整正式的。然而非正式的例子已经足以启示我们，公理1-公理4不能保证自然数的“纯净”, 一旦将来其它杂质数系被构建，例子4的存在终将使这个不完善的系统遭遇打击。
第五条公理的提炼是很困难的。
我们还是直接介绍它：
公理5 . (数学归纳原理)
有一个关于自然数的性质 P，如果 P(0) 成立，如果能够从 P(n) 成立推导出 P(n++) 成立，那么性质 P对所有的自然数 n 都成立。
这个原理能够保证自然数的纯净度。为什么呢？
利用这个公理，我们可以罗列出 P(0), P(1), P(2), P(3),...,都是成立的，但是无法断定 P(0.5) 成立，我们说性质 P(0), P(1),..., P(n),... 这堆不断生成的性质成立即是对所有自然数成立，意味着在这个陈述里我们排除了一些杂质元素。说起来好像有点语言学和逻辑学学的味道。
有限和无限
什么是有限，什么是无限
我写下有限和无限的时候，它们首先是一组语言词汇，语言是人类头脑中某种“概念”的表达，同样地，在英文里也有 infinite 和 finite 对应的词汇。
让我们设想一下，有一个流氓的独裁者规定，从今往后，中文的有字要改成无字，违抗者斩，这就导致我们的教科书里不得不说 1 是无限的。 碰巧一个颇通圣意的翻译官，他把 finite 翻译成了无限，infinite 翻译成有限，这样一来，外国人和中国人沟通起来好像没什么不对劲。
英国小学生：1 是 finite 的， 不断数下去会趋向 infinite...
翻译: 1 是无限的，不断数下去会趋向有限
中国小学生： 废话，不仅是 1 是无限的，2 也是无限的，3 也是无限的，虽然自然数有有限个，但是每个自然数都是无限的
英国小学点头称是。
日常生活中，我们会把 1 这样的数叫做“有限”的，“2”也是有限的，“0”也是有限的，我们也会说自然数是数不完的，总是有更大的数。
这样想象一下，无限与有限的称谓只是用于刻画某种现实对象的词汇。我们说 1 是有限的，是在描述 1 的固有的特征，而它在词语里到底是被称作无限还是infinite，并无关系。独裁者的妄为即使得逞，他对数学大厦的基石也不会有丝毫动摇。
抛弃语言之义，我们回到自然数本身，用我们通常理解的有限的意义去理解自然数的有限，有限实际上刻画的是数本身的存在，只要我们能实际表出一个自然数，它就是存在的。有人学过微积分，可能会说无限也可以用符号 ∞ 表示出来，它难道不是自然数？ —— 你无法在上文中定义的自然数体系里说清楚，这个美丽的 ∞ 符号到底是谁的后继，∞ -- ？ 假设你定义的减减号是指自然数的前继，经过一番推理论证，你会发现，如果硬要说 ∞ 这个符号代表一个自然数的话，它还是和某个阿拉伯数字表示的自然数等价—— 我们姑且把这种"存在"就称作有限。
所有自然数都是有限的。
对于这一点，可以用数学归纳原理来推理。
我们知道 0 是有限的，如果自然数 n 也是有限的， n + 1可被表示出来，它也是有限的，根据公理5，所有自然数都是有限的。
与有限对应的是无限。无限不是自然数，因为每个自然数都是有限的。
理解无限，我们或许要说一说集合的基数才行。不正式的说，集合是一些不同的个体凑在一起组成的对象，比如自然数 1 和 2 凑在一起，组成集合 {1, 2} , 集合包含 ∅， 集合里的元素个数就是集合的大小，称为集合的基数。
如果一个集合的基数可以用自然数表示，那么它是有限大的。
自然数到底有多大？
自然数集合 的大小不能用自然数本身来表示，否则的话，假设存在自然数 m ，它表示自然数集合的个数，那么，0，1, 2, 3, ... , m 肯定会有一个成员不在自然数集合里。
那么应该怎么表示自然数集合的基数。是的，就是无限。通常语义上的无限，可以对应自然数的基数，在集合论理论中，康托用 一个符号表示自然数的基数，他念做 阿列夫零——当我们头脑中有了一个概念的时候，我们就可以创造符号来表示它——从这个意义来说，数学本身也是一种语言。
自然数基数 阿列夫0
如果继续扩充数系，我们会得到一些看起来比自然数“大”得多的数系，比如整数，有理数，实数，它们的基数看起来至少比自然数“大”，我们是否又要另创符号来表示这些集合的基数？
自然数的运算： 加法
自然数的公理定义中，天然包含了一种运算：自增。每次自增得到自然数的后继，下一个自然数。
根据自增可以定义加法。
定义加法的几个步骤：
- 从具体到抽象的思考。 1 加 2 等于 3 ， 在自然数的定义里， 自增我们还是使用 "++" 表示， 1 加 2 看成是 2 自增了 1次，即 2++，我们可以定义 1 加 2 是 2++；同样的 如果是 3 + 2，则可以看成 2 自增 3次，定义为 (((2++)++)++) = 5
- 从具体到一般，现在我们要定义任意两个自然数： m 加 n是什么？
首先我们从起始开始，定义， 0 加 m := m， 1 加 m = (0++) + m = m++
如果已经定义好， n 加 m ，那么归纳原因运用一下，
那么 (n++) 加 m = (n 加 m)++
以上，把中文“加”字换成一个数学符号，就把自然数的加法，用归纳原理做了一个定义：
m 是自然数， 定义 0 + m = m, 如果已定义 n + m, 那么 （n++）+m 定义成 (n + m) ++ ,即:
(n++)+m = (n + m)++
也可以这样归纳地定义 m + 0 = m， 如果 m + n已定义， 那么定义m + (n++) = (m + n)++。最终自然数加法最终构建成的形态没有什么不同
加法已具，看看这个规则能不能套上大部分人小学就已经熟悉的加法交换律。
首先，看看 这个事实是不是真的？
对于任意的自然数 n ， n + 0 = 0?
千真万确，但是为什么？ 不能这样说，显然 n + 0 = 0 + n（根据定义） = n，因为交换律在目前的上下文中尚未验证过。
还是想到归纳大法：
- P(0): 0 + 0 = 0，这是真的，由定义可知，
- 归纳假设 P(n) 成立，假设 n + 0 = n 是真的，
- 考察 n + 1 , 根据定义的加法规则，(n++) + 0 = (n + 0)++ = n++, 所以一切自然数，这条规则成立。
0 + n = n + 0 = 0, 看起来交换律的雏形已经有了。
那么到一般的情形： 对于任意的自然数 m，n，在以上定义的加法规则下，是否满足 m + n = n + m ?
还是使用归纳大法： 对于n = 0 的情形，上面的例子，已经说明 m + 0 = 0 + m, 假设 n + m = m + n成立，
那么对于 n++， (n++) + m = (n + m)++ [加法规则之定义] = (m + n)++ = (m++) + n = （m + n)++,
嗯，(n++) + m = (m+n)++ 距离我们想要的 m + (n++)还有一点差别。
这个 (m + n)++ 和 m + (n++) 是不是对任何的自然数 m, n是相等的？
如果 m = 0，
由加法的定义，n + 0 = n, 左边 = n++; 右边 = n + (0++) = (n + 0)++ (加法的定义) = n++, 所以两头都是n++ 是相等的。
如果 ,对任何自然数 m， (m + n)++ = m + (n++), 那么对于 m++，
((m++) + n)++ = ((m + n)++))++ 这是根据加法定义 , 再根据归纳假设，((m + n)++))++ = (m + (n++))++ = (m++) + (n++), 对一切的 自然数m成立。
既然 m + (n++) = (m + n)++是成立的，那么 ,把上面的式子，串起来就有 (n++) + m = m + (n++) 从而证实了交换律。这个过程中，反复使用了加法的定义规则和归纳原理。
结合律
对任何的自然数 a, b, c, a + (b + c) = (a + b) + c，
对 a 进行归纳：
如果 a = 0, a + (b + c) = 0 + (b + c) = b + c = (0 + b) + c = (a + b) + c, 结合律成立
设 a + (b + c) = (a + b) + c
那么 ((a++) + b) + c = ((a + b)++) + c = ((a + b) + c)++ = (a + (b + c))++ = (a++) + (b + c) 对 a++也是成立
消去律
对任何的自然数 如果 a + b = a + c, 那么 b = c, 因为交换律的成立，又可以写成 如果 b + a = c + a , 那么 b = c
说清楚这个事实，仍然是归纳大法：
设 a = 0， 那么 0 + b = b, 0 + c = c, 因此 0 + b = 0 + c ，蕴含了 b = c
如果 对于a 消去律成立，来看 a++的情形。换言之，要证明：
(a++) + b = (a++) + c 蕴含着 b = c；
因为,根据加法的定义， (a++) + b = (a + b)++, (a++) + c = (a + c)++,
(a++) + b = (a++) + c, 即 (a + b)++ = (a + c)++，由第四条公理，不同自然数的后继不相等，这个等式蕴含了 a + b = a + c, 由归纳假设，即知， b = c。
以上一些草草的推理，也许不太严格，大概绘制了一个从无到有构建自然数及其自然数的加法运算的过程。类似于造建一个房屋，从地基开始，逐渐往上堆积，由我们的生活直观，提炼出公理化定义，然后依照公理系统定义了加法运算，并陈述了它的一些典型性质。
这是现代数学的基本方式，我们可以继续根据已有的东西，构建自然数的乘法。最后完整得到一个基于公理系统的逻辑严密的理论系统，它就可以应用于计算机的正整数，数组下标，一些序场景，以及计数等具体的现实模型中。
自然数的构建
问题：
- 自然数的公理化定义有没有别的方式？不同方式构建的自然数系会不会有本质的不同？
- 怎么定义自然数的乘法？
