2017年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

2020-08-23 本文已影响0人旋风竹影

声明：题目是我从同学分享那获取的，有可能出现抄错题目的情况。试题解析是本人自己做的，再根据教材理论来完成本文编写，符号太多编写工作量大，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言，如需转载请表明出处。感谢所有提出意见和建议，以及帮助过我的朋友。如果觉得还行，欢迎点赞转发，谢谢！

一、逻辑化语句（论域为一切事物，共5分）

1、（2分）只有天不下雨，我才开车出行

解析： P(x) ： x天下雨； Q(x)：x天，我开车出行。

$\forall x Q(x) \rightarrow ┐P(x)$

2、（3分）猫必抓鼠（要求写出两种形式，一种使用全称量词，一种使用存在量词）

解析： P(x) ：x是动物；Q(x)：x是猫；R(x) x抓老鼠。

$\forall x P(x) \land Q(x) \rightarrow R(x)$ ;所有的猫都抓老鼠

$┐\exists x (P(x) \land Q(x) \land ┐R(x))$ ；不存在不抓老鼠的猫。

二、填空题(每空2分，共8分)

1、函数 $f(t) = (1-2t)^{-7}$ 中 $t^5$ 的系数是___14784___

解析：考点是牛顿二项式扩展公式 $(1-x)^{-n} = \sum_{k=1} C_{(n+k-1,k)} x^k$

$f(t) = (1-2t)^{-7} = \sum_{k=1} C_{(6+k,k)} (2t)^k ， a_{k} = C_{(6+k,k)}2^k$ , 当k = 5时， $a_{5} = C_{(5+6,5)}*2^5 = \frac {11*10*9*8*7}{5*4*3*2*1} * 32 = 462 * 32 = 14784 .$

2、设T是一个有k个顶点的树，则T的着色数是__2___

解析：树的着色数为2。这个可以证明，证明取树G的任意一点P，对树中所有结点按下面方式着色：如果结点与P的路径长为偶数，则该结点（包括P点）着某种颜色C1，如果结点与P的路径长为奇数，则该结点着另外一种颜色C2，如果此时有相邻的两点A,B着同一种颜色，不失一般性，设A,B着颜色C1，则P到A,B各有一条路径长为偶数的路，该路与AB边就构成了回路，这与G是树矛盾，故不可能有相邻的两点着同一种颜色，于是用C1,C2两种颜色对树G进行了正常着色，故G的着色数为2。

3、一个饭店有3种甜点，而且无限多。小王选取四个甜点的方法有___15_____

解析：用S是有k种类型对象的多重集合，每种元素具有无限的重复数，那么S的r组合的个数为

,因此本题的答案为 $C_{(r+k-1,r)}$ 其中r=4，k=3 即 $C_{(6,4)} = C_{(6,2)}=\frac{6*5}{1*2} =15$

4、设 $m=p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} ...p_{k}^{t_{k}}$ 是m的唯一素数分解，其中 $p_{1} p_{2} ...p_{k}$ 是不同的素数。

公式图

对于大于1的整数n， $\sum_{d/n}u(d) =$ _ $(-1)^{n-1}$ ______

解析：（仅供参考）因为n>1;n的唯一素数分解 $d=p_{1}^{t_{1}} p_{2}^{t_{2}} ...p_{n}^{t_{n}}$ ，因此 $u(d) = 0 ,u(d) = (-1)^n, u(d)=1.$ 其中 $u(d)=1$ 只有d=1, $p_{n}$ 是素数，即 $t_{1},t_{2},...,t_{n}$ 均为0, 因此答案为 $\sum_{d/n}u(d) = (-1)^n + 0 +1 = (-1)^{n-1}$ 。

三、计算题（要求写出详细运算步骤，共15分）

1、（5分）求在［99，1000］范围内不能被5、6、8中任何一个数整除的数的个数。

解析： 用容斥原理解决此问题。全集个数为N=902

令能被5整除的数的集合为A个数为|A|=1000/5-98/5 = 200-19 =181，

能被6整除的数集合为B个数为|B|=1000/6-98/6 = 166-16 =150 ，

能被8整除的数集合为C个数为|C|=1000/8-98/8 = 125-12=113。

能同时被5和6最小公倍数30整除的数的个数位|A∩B|=1000/30-98/30=33-3 = 30

能同时被6和8最小公倍数24整除的数的个数位|B∩C|=1000/24-98/24=41-4 = 37

能同时被5和8最小公倍数40整除的数的个数位|A∩C|=1000/40-98/40=25-2 = 23

能同时被5，6和8的最小公倍数120整除的个数位A∩B∩C| = 1000/120= 8

因此不能被5，6，8任何一个数整除的数集个数为 $|\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C} | = N - |A| - |B|- |C| + |A\cap B |+ |B\cap C | + |A\cap C | -|A \cap B \cap C|$

= 902-181-150-113+30+37+23-8 = 540，即有540个数不能被5，6，8中任意一个数整除。

2.(4 分)求出 $┐(P\leftrightarrow Q )\land (┐P\rightarrow R)$ 的主析取范式和主合取范式(要求最后结果分别用极小项和极大项以及相应数字的简洁形式表示)。

解析：这个题有两种解法，一种是真值表，一种是直接运算；

方法一：真值表

真值表

可得主析取范式 $= m_{3} \lor m_{4} \lor m_{5}$

主合取范式 $= M_{0} \land M_{1} \land M_{2} \land M_{6} \land M_{7}$

方法二：

$┐(P\leftrightarrow Q )\land (┐P\rightarrow R) =┐((Q\rightarrow P )\land (P\rightarrow Q ))\land (┐P\rightarrow R)$ （这一步容易出错）

$=┐(┐Q \lor P )\lor ┐(┐P\lor Q )\land (P\lor R) = (Q \land ┐P )\lor (P\land ┐ Q ) \land (P\lor R)$

$= ({(Q \land ┐P ) \land (R \lor ┐ R)})\lor ((P\land ┐ Q ) \land (R \lor ┐ R)) \land (P\lor R)$

$= (Q \land ┐P \land R ) \lor (Q \land ┐P \land ┐ R) \lor (P\land ┐ Q \land R ) \lor (P\land ┐ Q \land ┐ R) \land (P\lor R)$

$= (P \land Q \land ┐P \land R ) \lor (P \land Q \land ┐P \land ┐ R) \lor (P \land P \land ┐ Q \land R ) \lor (P \land P \land ┐ Q \land ┐ R) \lor (R \land Q \land ┐P \land R ) \lor (R \land Q \land ┐P \land ┐ R) \lor (R \land P \land ┐ Q \land R ) \lor (R \land P \land ┐ Q \land ┐ R)$

$= (P \land ┐ Q \land R ) \lor (P \land ┐ Q \land ┐ R) \lor (┐P \land Q \land R )$

得主析取范式为 $= m_{101} \lor m_{100} \lor m_{011} = m_{5} \lor m_{4} \lor m_{3} = m_{3} \lor m_{4} \lor m_{5}$

因此主合取范式为 $= M_{0} \land M_{1} \land M_{2} \land M_{6} \land M_{7}$

3（6分）有t个球排一排，t大于等于3。用红、橙、黄、蓝、绿5种颜色染色。每个球一种颜色，要求红橙黄的球至少出现一次。有多少种方法？

解析：该问题可以转换一下思考，即有红、橙、黄、蓝、绿5种球，每种颜色有无穷个，从中取t排列，且球数满足红橙黄的球至少出现一次。这样该题就变成了排列型数列，即用指数型母函数的方法来解。如下所示：

$G(x) = (\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+...)^3 (1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+...)^2 = (e^x-1)^3 e^{2x} = (e^{3x}-3e^{2x} + 3e^{x} -1) e^{2x} = e^{5x}-3e^{4x} + 3e^{3x} - e^{2x}$ $= e^{5x}-3e^{4x} + 3e^{3x} - e^{2x} = \sum_{t} (5^t-3*4^t + 3*3^t -2^t )\frac{x^t}{t!}$

因此 $a_{t} = (5^t-3*4^t + 3*3^t -2^t )$ ,则 $(5^t-3*4^t + 3*3^t -2^t )$ 种方法根据t的不同取值结果不同。

四、解答题（8分）

设教室有8个座位排成一排。八位同学A1，A2，…，A8需要坐在这里上两节课。设第一节课Ai坐在第i个座位上。

（1）若第二节课要求A1－A4与自己第一节课时位置不同，A5-A8与第一节课相同，有多少种坐法？

（2）第二节课要求只有四位同学与第一节课不同，但不指定是哪四位。有多少种坐法？

解析：该题考的是错排问题。

（1）A1－A4不在自己位置上，即这四位同学完全错排 $D_{4} =4！（1-\frac{1}{1！} +\frac{1}{2！}-\frac{1}{3！}+\frac{1}{4！}） = 9$ ，另外四位同学位置不变。关于错排可以用容斥原理来推,即 $i_{1}\neq 1，i_{2}\neq 2，i_{3}\neq 3，i_{4}\neq 4$ 都不在原来的秩序位置上。

$D_{4} =|\bar{A_{1}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{4}} | = N-|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{2} \cup A_{4}| =N-\sum_{i=1}^4 |A_{i}|+\sum_{i=1}^4\sum_{j>i} |A_{i}\cap A_{j}| ...{(-1)}^4|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|$