【线性代数启示4】矩阵的代数运算和行列式

2022-08-12 本文已影响0人东方胖

矩阵的乘法 $AB$ 第 i 行第 j 列的元素是
$c_{ij} = \sum_{k = 1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$
定义矩阵乘法之后，会发现矩阵不满足交换律
$AB \ne BA$ 一般不成立。

为什么我们不定义一种可以满足交换律的矩阵乘法？比如让 $AB$ 对应每个位置的元素相乘？
这样的话，确实满足交换律，但是这种乘法的毛病也很明显

对于线性方程组求解没什么实质的帮助
对于线性变换而言，这样的矩阵和线性变换没啥关系
背离了矩阵引入的初衷——它最终要服务于两个基本的场景，解方程组和处理向量空间上的线性变换。

事实上，矩阵从线性方程组抽象出来之后，它的乘法的定义就确定了，而方程组就是线性变换的具象形式。

对于矩阵的乘法运算，它有几个反直觉的特性

第一个自然是不满足交换律
第二个，它通常也不满足消去率，即 $AB = AC$ 一般不能推倒出 $B = C$
第三个如果 $AB = \boldsymbol 0$ $A$ $B$ 未必会有一个是零矩阵
这些特性说明矩阵空间在其乘法和一般的实数，整数，有理数系有重大的区别。

跟矩阵有关的其它运算

矩阵的转置， $A^{\mathrm{T}}$ 将矩阵 $A$ 的每个元素的行列置换位置
矩阵的幂只有方阵能幂运算，即 $A^k = A \cdot A \cdot ... \cdot A$
矩阵的迹 $tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ 将矩阵对角线上的数求和
矩阵的逆。对于实数, a 的逆是与 a相乘等于 1 的数。

矩阵的逆

在矩阵家族里，有没有类似 1 这样的矩阵？有没有类似 0 这样的零矩阵？
如果有一种矩阵 $I$ , 满足 $IA = AI = A$
那它好比实数1一样具有单位元的特性。
如果有一种矩阵 $O$ 它满足
$AO = OA = O$
那么 $O$ 具有实数 0 的特性。

从矩阵的乘法和 $2 \times 2$ 维情况出发，我们很容易发现
零矩阵应该是这样
$\left (\begin{array}\\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)$

单位矩阵应该是这样
$\left (\begin{array}\\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

然后把使得 $AB = I_m$ 成立的 B 称为矩阵 A 的右逆，使得 $BA = I_n$ 成立的 B称为右逆。若要统一 $AA^{-1} = A^{-1}A$ 则需要规定 $A$ 是 $n\times n$ 方阵
这样的话，对于方程
$Ax = b$
如 $A$ 是 $n\times n$ 方阵，就能左乘 A 的逆而求得方程组的唯一解
$x = A^{-1}b$

问题

什么样的方阵存在逆矩阵，如何计算逆矩阵
逆矩阵和逆变换的关系？

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