2019-04-16
# 第一章 微分
## 1.0绪论
### 何为导数？
- 几何解释：函数切线的斜率
- 物理解释：变化率
### 如何求解任意函数的导数
例如求解$$\left. \frac{d}{dx} \right.{\rm e^{arctanx}}$$=?
## 1.1 导数与变化率
### 几何解释
如何求解$y = f(x)$在$P(x_0,y_0)$处的切线？
$P(x_0,f(x_0))$在函数$y = f(x)$的切线是$y-y_0 = m(x-x_0)$,我们定义这一切线的斜率$m$就是函数y = f(x)在$P(x_0,f(x_0))$处的导数，记为$f(x{\prime})$
以图中PQ为例，我们如何定义函数在某点的切线呢？P,Q是函数的一条割线，当Δx无限接近于零时，这条割线也越接近于这个函数在这点的切线，所有切线便是这条割线的极限形式，这条割线的斜率$k = \frac{\Delta f}{\Delta x}$取极限便是函数的导数$f(x_0\prime)=lim_{\Delta x_\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
## 例题1
求$f(x) = \frac{1}{x}$ 的导数
利用定义，先求
$$
\frac{\Delta f}{\Delta x} =\frac{\frac{1}{x +\Delta x} -\frac{1}{x}}{\Delta x}=^{}\frac{\frac{x-(x+\Delta x)}{(x+\Delta x)x}}{\Delta x} = \frac{x-(x+\Delta x)}{(x+\Delta x)*{\Delta x}*x} = \frac{-\Delta x}{(x+\Delta x)*{\Delta x}*x} = -\frac{1}{(x+\Delta x)*x}
$$
使$取极限\Delta x 取极限$则求得该函数的导数
$$
f(x_0\prime)=lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = lim_{\Delta x\to0}
-\frac{1}{(x+\Delta x)*x} = - \frac{1}{x^2}
$$
## 例题2
求$y = \frac{1}{x}$的切线于坐标轴围城的三角形的面积
- 首先找到切线的函数表达式
- 函数在点$P(x_0,y_0)$的切线公式是$y-y_0 = f(x\prime)(x-x_0)$
- 在本题中切线公式是$y - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}(x-x_0)$
- 求得切线和坐标轴的交点，以确定三角形的底与高
- 将x=0带入切线公式，求得$y = \frac{2}{x_0}$
- 同理将y=0带入切线公式，求得$x = 2x_0$
- 三角形面积$S=\frac{1}{2} xy = \frac{1}{2}*{2x_0}*{\frac{2}{x_0}} = 2$
### 函数的符号
$f\prime = \frac{\rm d f}{\rm d x} = \frac{\rm d y}{\rm d x} = \frac{\rm d }{\rm d x }f = \frac{\rm d }{\rm d x} y $
这些符号都是等价的
### 例题3
**求$f(x) = x^n,n=1,2,3....$的导数**
$\frac{\rm d }{\rm d x} x^n $
先求得 $\frac{\Delta f }{\Delta x} $
$$
\frac{\Delta f }{\Delta x} = \frac{{(x+\Delta x)}^n - x^n}{\Delta x} =_{二项式定理}\frac{{(x^n+n*x^{n-1}*\Delta x+O(\Delta x^2))} - x^n}{\Delta x} =n*x^{n-1}+O(\Delta x)
$$
取极限得
$$
\frac{\rm d }{\rm d x} x^n = lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x} = n*x^{n-1}
$$
#### 导数的意义
- **切线的斜率**
- **瞬时变化率**
将$\Delta y$ 看作位置变化,$\Delta x$看作时间变化的话，那么$\frac{\Delta y}{\Delta x }$表示位置的平均变化率，即平均速度，而$\frac{\rm d y}{\rm dx}$则表示位置的瞬时变化率，瞬时速度
### 其他物理例子：
1. \$q$表示电荷，表示电荷，$\frac{\rm d q}{\rm d t}$表示电流
2. s表示距离，$\frac{\rm d s}{\rm d t}$表示速率
### 例题：mit大楼扔南瓜，已知楼高80m，求南瓜落地的瞬时速率，平均速率？
由物理公式得，南瓜与地面的距离h的公式如下
$$
h = 80 - 5*t^2\\
t=0\quad h=80\\
t=4\quad h=0
平均速度\\
v_{平均} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{0-80}{4-0} = -20 m/s
$$
如何求得南瓜落地的速度？
$$
\frac{d}{d t}h = \frac{d}{d t}{(80-5t^2)} \\
由上节课公式
\frac{\rm d }{\rm d x} x^n = lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f }{\Delta x} = n*x^{n-1}
得\\
\frac{d}{d t}80 = 0 \\
\frac{d}{d t}(t^2) = 2t\\
故 \frac{d}{d t}h = \frac{d}{d t}{(80-5t^2)} = -10t
将t=4带入得 v = \frac{d}{d t}h = -10*4= -40m/s
\\即他的速度为40m/s且方向向下
$$
3. T=温度,$\frac{d T}{d x}$表示温度梯度
4. 测量零密度：GPS
h通过无限波反射的时间与距离得到，L则可以通过通过与监测点的电磁反射时间得到
h存在偏差称位$\Delta h$
$\Delta L $与$\Delta h$的比值$\frac{\Delta L}{\Delta h}$可以通过他们的微分近似得到$\frac{d L}{d h}$
