2019-05-05 sqrt(a+sqrt(b))公式 (有条

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完整推导

设， $x+y=a$ 且x≥y≥0

$2\sqrt{xy} =\sqrt{b},所以 xy=\frac{b}{4}$

$x+y+2\sqrt{xy} =(\sqrt{x} +\sqrt{y}) ^2$

自然的， $\sqrt{a+\sqrt{b} }=(\sqrt{x} +\sqrt{y})$

将 $x+y=a$ 和 $2\sqrt{xy} =\sqrt{b}$ 结合在一起， $x^2-ax+\frac{b}{4} =0$

如果x有解，要求 $a^2-b\geq 0$

$x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-b}}{2}$ 因为x≥y≥0，所以 $x=\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2}$ , $y=\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2}$

所以 $\sqrt{a+\sqrt{b} }= \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2} } +\sqrt{\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2} }$

进一步可得 $\sqrt{a\pm \sqrt{b} }= \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2-b}}{2} } \pm \sqrt{\frac{a- \sqrt{a^2-b}}{2} }$

证明略