牛爸教奥数 —— 教学修正笔记（二）

​《牛爸讲奥数》系列丛书，是中高年级筹备奥数竞赛比较好的一本教材，尤其是针对上海的孩子。因为这本书是以近几年上海四大杯赛中的真题为背景，通过对真题的解析，总结归纳出知识点并进行讲解。

《牛爸讲奥数》系列丛书的质量已经比较高，不过陆老师在刷题的过程中发现有一些题，牛爸的解法不是最优解。所以打算写一批系列文章，把陆老师的一些思路也分享给大家。今天进行教学修正的是第二讲： 《数列与数表》。

（P40）有以下两个数串： 1） 1，3，5，7 ...... 2013 和 2）1，4，7，10 ...... 2011，2014，2017。同时出现在这两个数串中的数共有 __________ 个 （第13届小机灵杯四年级决赛）

这道题本身并不难，牛爸的解法是「找规律」，这种方法基本上已经是比较好的一种解法。陆老师在这里想提出的另一个思路是把这道题换一个题面，实际上它们表达的是相同的意思：

在不大于2017的所有的自然数中，同时满足：被2除余1和被3除余1的自然数有 __________ 个

我们可以发现，实际上这两道题是完全等价的。那么如果我们去解第二题，就可以利用余数的相关性质进一步将题目转化为：

在不大于2017的所有自然数中，被6除余1的自然数有 __________ 个

相信如果看到上面的题，基本上难度已经大大降低了。

（P42）图1中的三角形金字塔我们叫做边长为6的金字塔（每个小三角形的边长为1）。那么图1金字塔中有 __________ 个如图2所示的菱形？是否存在整数n，使得边长为n的金字塔中菱形的个数为2012201220122012？如果存在，请求出n；如果不存在，请证明。 （第13届中环杯三年级决赛）

这道题，牛爸整整用了3大页纸，才把这道题给说明白了。具体的做法非常复杂，主要还是通过找规律的方式去进行推理。具体的做法，陆老师就不贴了，篇幅太长，也不容易理解。

陆老师在这里提供一种更为精巧的做法：等价旋转法。

首先，我们考虑菱形可能产生的形态，总共有3种（分别记作L1，L2和L3）：

紧接着，我们考虑这三种菱形在整个三角形中出现的可能性。如果我们始终以自上而下的视角进行观察（因为从左往右，或者从右往左可以通过三角形的旋转转化视角），那么：L1形态的菱形，只能出现在顶点A在上方的三角形中；L2形态的菱形，只能出现在顶点B在上方的三角形中；L3形态的菱形，只能出现在顶点C在上方的三角形中。

也就是说，如果我们把三角形顺时针旋转60度来看，A就置换成了B；把三角形逆时针旋转60度，就能够把A置换成C。这样的话，实际上L1，L2，L3这三种形态完全等价。

所以，我们可以得出结论：我们只需要数L1这种形态下，菱形在三角形ABC中的数量记作S1。把S1乘以3，就是我们最终要求的答案了。

不仅如此，我们还可以从这个结论中得到一个推论：无论金字塔的边长是多少，其中包含的菱形个数一定是3的倍数（3×S1）。

有了上面这条推论，第二个问题就已经迎刃而解了：因为2012201220122012不是3的倍数，所以不存在这样的金字塔。

我们反过来再看第一题：这就是一个非常典型的数图形问题了。我们可以用「顶点法」来考虑。

由于菱形一定会占据两个边长的高度，所以前n-2层有多少个顶点点，就有多少个菱形。

观察可知：前n-2层的顶点数其实就是 1 + 2 + 3 + ...... + (n-1) = n * (n-1) / 2。所以，最后的答案应该是：3 n（n-1）/ 2

（P46）玉米炮有单筒玉米炮，双筒玉米炮、三筒玉米炮三种。单筒玉米炮每次发射1根玉米，可以消灭20个僵尸，双筒玉米炮每次发射2根玉米，每根玉米消灭17个僵尸；三筒玉米炮每次发射3根玉米，每根玉米消灭16个僵尸。玉米炮一共开炮10次，发射玉米23根，消灭了 __________ 僵尸（第10届走美杯杯四年级初赛）

这道题目，牛爸的解法也是通过找规律。

只不过，这种规律实在太难找了！因为这种规律不具备普适性。我们说解一道题，还是尽可能找到它的通解方式。所以恰好找到等差数列，可能真的是一种运气！

陆老师在这里提供另外一种思路，这种思路实际上再平常不过，就是设未知量求解：

有的同学会说了，这里有三个变量，却只有2个式子，这怎么解呀？到了四年级，这类的不定方程就要学会使用低年级的方法去「凑」。因为b和c只能是整数，而且b和c都比10小，从式子中还发现，b必须是奇数。所以，可以推得：

然后，再把上面这4组可能的答案，去计算消灭的僵尸数。最终，我们可以发现，无论哪一组答案，得到的结果都相同。

不定方程解法的好处在于避免了强行让孩子观察出三种炮之间的内在关联，因为这一点对于数字感觉不好的娃来说，有一点困难。

（P52）第100行第三个数是 __________ （第11届小机灵杯四年级决赛）

这道题是杨辉三角。杨辉三角本身是二项式定理的三角阵表达。所以，牛爸依然用等差数列去推导，就显得比较繁琐。

陆老师认为，这里就应该将杨辉三角的性质，给孩子进行普及。

当然，上述性质太多，对于四年级的娃，只要掌握前6条即可。

所以，根据上面的性质，我们求的是C（99，2）= 99 × 98 / 2 = 4851就是答案。

应广大家长的要求，陆老师将在下周起开设小学奥数在线课程，包括中低年级和高年级都将陆续播出，敬请关注！

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