导数概念4

开始计算斜率

​ 前面谈了一下极限的问题。你还记得我们为什么要谈极限吗？
​ 前面说过，导数是求函数斜率的工具。
​ 斜率是什么？一次函数的斜率不言而喻。二次以上函数的图形是曲线，曲线的斜率是什么？此时我们可以考虑切线的斜率。
​ 那切线的斜率该如何计算呢？
​ 斜率原本是“纵向长度差÷横向长度差”，但是曲线图形的切线仅与曲线上的一点相连，那么纵向长度差是什么，横向长度差又是什么？？
​ 由此人们产生了这样的设想——适当选取两点，并使它们逐渐接近，那么它们最终会成为一点。为了实现这一设想，极限概念应运而生。

​ 想起来了吗？
​ 那么我们就从下一页开始讲讲斜率的具体计算方法。现在，进入正题了。

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“滑动着”求导

好了，我们接着讲。
​ 假设我们要求函数f（x）图形上点A的斜率。设点A的坐标为（a，f（a））。
​ 就像我反复强调的那样，只有一点是无法求斜率的（无法取纵向长度差和横向长度差），因此我们要在附近再取一点B。假设点B比点A的x坐标值略大，x坐标值的差为h，则B点坐标为（a+h，f（a+h）。
​ 我们来求一下AB的斜率。斜率为“纵向长度差÷横向长度差”，纵向长度差为f（a+h）-f（a），横向差为h。

AB的斜率=

​ 现在想求的是点A的斜率。如何将AB的斜率与点A的斜率联系起来呢？我们让点B沿曲线向点A滑动，即让点B接近点A，最终两点重合，此时AB的斜率就变成A点的斜率了。
​ 可是，如果点A和点B重合，h就为0了，斜率算式的分母为零，这样不行呀。
​ 别忘了，我们不是为此而引入了极限吗？
​ 是呀，h不断接近0，则……

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根据上面的分析，
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求某一点斜率的意义

我们已经知道了求某点斜率的方法，那么使用该方法可以做些什么呢？
好不容易找到了一个便利的工具，现在好想知道该如何使用。在导数的众多用途中，使用须率最高的是绘制切线和图形。使用导数绘制切线非常方便。用导数可以求斜率，知道斜率，再知道该点的坐标，马上就能写出切线的方程。
运用导数还能绘制出曲线的大致形状。通常来说，没有电脑和专业人士的帮助很难精确绘制出曲线的图形。但使用导数可以求出曲线发生转折的极限值点和弯曲状态发生变化的拐点。例如，假设在图形上取适当两点，一点的斜率为正，另一点的斜率为负。如果该曲线是流畅的，那么它们中间必然会有斜率为0的地方。
也就是说，如果能求导找到斜率为0的点，就能大致绘制出图形形状。这是使用导数最大的优点。

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