Pearson相关分析：那些看似很简单的相关性分析，你用对了吗？

从某种意义上说，世间万物存在千丝万缕的关系。在数据分析中，两变量间的关系包括确定性关系（即函数关系）和非确定性关系。

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非确定性关系指两个变量宏观上存在关系，但不能用具体的函数关系来表示，这种既是必然的又是不确定的关系称为相关关系。相关关系进一步分为平行关系（两变量互相影响）和依存关系（一个影响另一个）。

两个连续随机变量之间的线性联系称为线性相关（linear correlation），亦称为简单相关，联系强度用相关系数来描述。Pearson相关性分析是分析两变量间线性相关最常的方法。

1.Pearson相关性分析，需要满足以下5个条件：

（1）两变量均为连续变量。

（2）两变量应当是配对的，即来源于同一个个体。

（3）两变量之间存在线性关系。

（4）两变量没有明显的异常值。

（5）两变量呈双变量正态分布或近似正态分布。

2.Pearson积矩相关系数

Pearson相关系数，又称积差相关系数。定义为两个变量之间的协方差和标准差之积的商（又称为归一化的协方差）。总体的相关系数用ρ表示，样本的相关系数用r表示。

从总体相关系数和样本相关系数的计算公式都可以看出：

（1）分母为两变量标准差的乘积，只可能为正数。

（2）分子为两变量的协方差，表示两个变量的观测值对均值的偏离构成的向量的内积。

a.当X的离均差和Y的离均差均为正数或者均为负数时，说明X和Y有同时增加或者同时减少的倾向，乘积为正，称 𝑋 与 𝑌正相关；

b.当X的离均差和Y的离均差一正一负时，说明有X增加Y减少或者X减少Y增加的倾向，乘积为负数，称 𝑋 与 𝑌负相关。

c.特别地，若X和Y部分取值同方向部分取值反方向，离均差乘积有正有负，加和就接近于0，即这时候X和Y呈无序变化，称 𝑋 与 𝑌不相关，严格来说是无线性相关关系。

（3）根据柯西-施瓦尔兹不等式(Cauchy–Schwarz inequality)：

可知-1≤ρ≤1，ρ越靠近-1或1，线性相关程度越强，越接近于0，越弱。

此外，因为分子协方差的量纲除以了分母、分子相同的量纲，所以Pearson相关系数是没有单位的，而且具有对称性、位移不变性和尺度不变性。

3.Pearson相关系数的假设检验

通常我们分析的数据是来自总体的样本，所得到的r只是ρ的一个估计值，也有抽样误差，因此还要进一步作总体相关系数ρ是否为0的假设检验。即：

H0：ρ=0，H1：ρ≠0，α=0.05

来自 𝜌=0 的总体的所有样本相关系数 𝑟 是呈对称分布的，所以r的显著性检验可以用双侧t检验来进行。

直接查t分布表即可获得P值。

需要注意的是，相关系数的显著性是与自由度 (𝑛−2) 有关，即与样本数量 𝑛 有关。样本量小，r绝对值容易接近于 1 ，样本量大，r绝对值容易偏小，容易给人一种假象，但样本少，即使r很大，但会发现是没有显著性的，相反，样本量很大时，即使r=0.1，也是有显著性的。

4.Pearson相关系数的区间估计

在实际分析时，我们往往想得到总体相关系数以一定概率所在的大致范围，即ρ的置信区间。

由于-1≤ρ≤1，不服从正态分布，在估计置信区间前需要先进行转换，如对数转换：

此时-∞＜z＜+∞，z近似服从正态分布，则z的1-α置信区间为：

然后再作反变换即可得到总体相关系数ρ的置信区间：

关于相关性的强弱没有固定的界限，不同的参考书定义不同，但更应该关注样本量是否足够大。

在很多学位论文和期刊论文中，经常能看到Pearson相关分析的误用和滥用，即使不能满足必须的5个条件，也盲目应用Pearson相关分析，这是不可取的。

在结果阐述部分特别需要注意的是：

（1）r=0只能说明两变量无线性相关关系，并不表示两者无相关性，可通过散点图初步判断。

（2）Pearson相关分析只探讨两变量具有线性相关性，不能得出因果关系。

（3）Pearson相关分析与Spearman相关分析的区别。

（4）Pearson相关分析和线性回归分析的联系和区别。