高中数学纲目

三角之目：2014年理数四川卷题16

2022-06-06 本文已影响0人易水樵

2014年理数四川卷题16

已知函数 $f(x)=\sin(3x+\dfrac{\pi}{4})$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 $\alpha$ 是第二象限角， $f(\dfrac{\alpha}{3})=\dfrac{4}{5}\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{4})\cos2\alpha$ , 求 $\cos\alpha-\sin\alpha$ 的值.

【解答问题Ⅰ】

若函数 $f(x)$ 单调递增，则 $2k\pi-\dfrac{\pi}{2} \leqslant 3x+\dfrac{\pi}{4} \leqslant 2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$

$2k\pi-\dfrac{3\pi}{4} \leqslant 3x \leqslant 2k\pi+\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{2}{3}k\pi-\dfrac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{2}{3}k\pi+\dfrac{\pi}{12}$

结论，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[\dfrac{2}{3}k\pi-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2}{3}k\pi+\dfrac{\pi}{12}], \; k \in \boldsymbol{Z}$ .

【解答问题Ⅱ】

$f(\dfrac{\alpha}{3})=\sin (\alpha+\dfrac{\pi}{4})$ ,

$\cos2\alpha=\sin(2\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\sin2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})$

$=2\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{4})$

代入已知条件得：

$\dfrac{8}{5}\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})\cos^2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})-\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})=0$

$\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4}) [ \dfrac{8}{5}\cos^2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})-1 ]=0$

又∵ $\alpha$ 是第二象限角， $\dfrac{3\pi}{4} \lt (\alpha+\dfrac{\pi}{4}) \lt \dfrac{5\pi}{4}$ ,

所以，以上方程存在两解：

(1) $\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4}) =0, \alpha=\dfrac{3\pi}{4}$ ,

$\cos\alpha-\sin\alpha = -\sqrt{2}$ ;

(2) $\cos^2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{5}{8}$ ,

$\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{4})= - \sqrt{\dfrac{5}{8}}$ ,

$\cos\alpha-\sin\alpha = \sqrt{2} (\cos\alpha \cos\dfrac{\pi}{4} -\sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{4})$

$\cos\alpha-\sin\alpha = \sqrt{2} \cos (\alpha+\dfrac{\pi}{4})= - \dfrac{5}{2}$

【提炼与提高】

在最近十年的高考数学中，大角大题多数会以余弦定理和正弦定理为主角。

本题没有涉及这两个定理，但是对于三角恒等变换要求较高，这是很有特色的，值得留意。

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