分治 | 求排列的逆序数

一、题目描述

描述

在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，满足 j < k 且 ij > ik， 那么就称(ij,ik)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n-1)/2，对应的排列就是n,(n-1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

输入

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n <= 100000)。

第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

输出

输出该排列的逆序数。

样例输入

6 2 6 3 4 5 1

样例输出

8

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此题目有两种解法（目前能想到的）：

1.枚举：时间复杂度为O(n^2)
2.分治：时间复杂度为O(n*logn)

在此我们利用分治思想来解

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思路：

类似于归并排序：

1.将数组分成两半，分别求出左半边的逆序数和右半边的逆序数
2.再算有多少逆序是由左半边取一个数和右半边取一个数构成
实际上就是归并排序的改造，即对此排列进行归并排序，边排序边计算它的逆序数

求逆序数的关键：

设左半边和右半边都是从小到大有序的（此时进行归并），从左到右依次扫描，比较两个各取一个数的大小，如果左边第一个数比右边第一个数大，那么左边排列的其他数字也可以和右边第一个数构成逆序数，以此类推。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
long long sum = 0;//逆序数的个数 
void MergeSort(int * arr,int s,int e,int *temp);//归并排序
void MergeAndCountNum(int * arr,int s,int mid,int e,int *temp); //归并有序序列并计算逆序数的个数 
int main(){
    int a[100001],b[100001],n;
    cin >> n;
    for(int i=0;i<n;++i)
        cin >> a[i];
    MergeSort(a,0,n-1,b);
    cout << sum ;
    return 0;
} 
 
void MergeSort(int * arr,int s,int e,int * temp){//归并排序 
    if(s < e){ 
        int mid = s + (e - s)/2;
        MergeSort(arr,s,mid,temp);
        MergeSort(arr,mid+1,e,temp);
        MergeAndCountNum(arr,s,mid,e,temp);
    }
}
void MergeAndCountNum(int * arr,int s,int mid,int e,int * temp){//归并有序序列并计算逆序数的个数 
    int p1 = s, p2 = mid +1,index = 0;
    while(p1 <= mid && p2 <= e){
        if(arr[p1] < arr[p2])
            temp[index++] = arr[p1++];
        else{
            temp[index++] = arr[p2++];
            sum += mid - p1 +1;
        }
    }
    while(p1 <= mid)
        temp[index++] = arr[p1++];
    while(p2 <= e)
        temp[index++] = arr[p2++];
    for(int i = 0;i<e - s +1;++i)
        arr[s+i] = temp[i];
}