高中奥数 2022-03-04

2022-03-04 本文已影响0人不为竞赛学奥数

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P026 习题09）

求证:对任意 $c>0$ ,存在正整数 $n$ 和复数列 $a_{1},a_{2},\cdots a_{n}$ ,使 $c\cdot\dfrac{1}{2^{n}}\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left|\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right|<\left(\sum\limits_{j=1}^{n}\left|a_{j}\right|^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}.$ 其中 $\varepsilon_{j}\in \left\{-1,1\right\},j=1,2,\cdots ,n$ .

证明

考虑
$\begin{aligned} S&=\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left|\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right|^{2}\\ &=\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left(\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right)\left(\varepsilon_{1}\bar{a_{1}}+\varepsilon_{2}\bar{a_{2}}+\cdots+\varepsilon_{n}\bar{a_{n}}\right)\\ &=\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left(\left|a_{1}\right|^{2}+\left|a_{2}\right|^{2}+\cdots+\left|a_{n}\right|^{2}+\sum\limits_{i\neq j}a_{i}\bar{a_{j}}\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\right). \end{aligned}$
不妨取 $\left|a_{i}\right|=1$ , $i=1,2,\cdots,n$ ,则
$\begin{aligned} S&=n\cdot 2^{n}+\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\sum\limits_{i\neq j}a_{i}\bar{a_{j}}\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\\ &=n\cdot 2^{n}+\sum\limits_{i\neq j}a_{i}\bar{a_{j}}\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\varepsilon_{i}\varepsilon_{j}\\ &=n\cdot 2^{n}. \end{aligned}$
现要求 $n^{\frac{2}{3}}>c\cdot \dfrac{1}{2^{n}}\cdot\sum\limits_{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}}\left|\varepsilon_{1}a_{1}+\varepsilon_{2}a_{2}+\cdots+\varepsilon_{n}a_{n}\right|$ ,只需 $c\cdot\sqrt{\dfrac{S}{2^{n}}}=c\cdot\sqrt{n}\leqslant n^{\frac{2}{3}}$ ,即 $n^{\frac{1}{6}}\geqslant c$ ,故取 $n\geqslant c^{6}$ 即可.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题10）

设 $a$ 、 $b$ 是正常数, $\theta\in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ ,求 $y=a\sqrt{\sin \theta}+b\sqrt{\cos \theta}$ 的最大值.

解

设 $\sqrt{u}=a\cdot \sqrt{\sin \theta}$ , $\sqrt{v}=b\cdot \sqrt{\cos \theta}$ ,则条件转化为 $\dfrac{u^{2}}{a^{4}}+\dfrac{v^{2}}{b^{4}}=1$ , $u$ 、 $v\geqslant 0$ ,利用Cauchy不等式,
$\begin{aligned} y&=\sqrt{u}+\sqrt{v}\\ &\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{u}{a^{2}}-\dfrac{7}{b^{5}}\right)\left(a^{4}+b^{4}\right)}\\ &\leqslant \sqrt{\sqrt{\left(\dfrac{u^{2}}{a^{4}}+\dfrac{v^{2}}{b^{4}}\right)\left(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)}\cdot \left(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)}\\ &=\left(a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{3}{4}}, \end{aligned}$
并且易求得等号成立的条件.

注:在求解过程中,幂次都可以用待定系数法来确定.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题11）

设 $n$ 个实数,它们的绝对值都小于等于2,其立方和为0.求证:它们的和 $\leqslant \dfrac{2}{3}n$ .

证明

记这 $n$ 个实数为 $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n}$ .令 $x_{i}=\dfrac{y_{i}}{2}$ ,则 $\left|x_{i}\right|\leqslant 1$ , $\sum\limits_{i=1}{n}x_{i}^{3}=0$ .要证明: $\sum\limits_{i=1}{n}x_{i}^{3}\leqslant \dfrac{1}{3}n$ 用待定系数法:设 $x_{i}\leqslant \dfrac{1}{3}+\lambda x_{i}^{3}$ .令 $x=\cos \theta$ ,由三倍角公式易知 $\lambda=\dfrac{4}{3}$ 可使上式成立,从而原不等式获证.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P027 习题12）

已知正整数 $n\geqslant 3$ , $\left[-1,1\right]$ 中的实数 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 满足: $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{5}=0$ .求证: $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}\leqslant \dfrac{8}{15}n$ .

证明

由于 $x_{k}\in \left[-1,1\right]$ ,则 $0\leqslant \left(1+x_{k}\right)\left(Bx_{k}-1\right)^{4}$ ,这里 $B$ 是一个待定实数,展开,得: $B^{4}x_{k}^{5}+\left(B^{4}-4B^{3}\right)x_{k}^{4}+B^{2}\left(6-4B\right)x_{k}^{3}+B\left(4B-6\right)x_{k}^{2}+\left(1-B\right)x_{k}+1\geqslant 0$ .

令 $B=\dfrac{3}{2}$ ,从上式得 $\dfrac{81}{16}x_{k}^{5}-\dfrac{135}{16}x_{k}^{4}+\dfrac{15}{2}x_{k}^{2}-5x_{k}+1\geqslant 0$ .对 $k$ 从1到 $n$ 求和,即有
$\begin{aligned} 5\sum\limits_{k=1}^{n}{x_{k}}&\leqslant n-\dfrac{135}{16}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{4}+\dfrac{15}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\\ &=n+\dfrac{15}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-\dfrac{9}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{4}\right)\\ &\leqslant n+\dfrac{15}{2}\cdot\dfrac{2}{9}n\\ &=\dfrac{8}{3}n, \end{aligned}$
故 $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}\leqslant \dfrac{8}{15}n$ .

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