Slam笔记-相机模型与坐标系转换

2020-09-21 本文已影响0人郑海鹏

1. 物体在相机坐标系下的「真实坐标」到「成像平面坐标」的转换

下图是针孔相机模型的示意图：

设物体在相机坐标系下的坐标是 $P_w = [X, Y, Z]^T$ ，根据相似三角形，有：
$\frac{f}{Z}\ =\ \frac{X^{\ '}}{X}\ =\ \frac{Y^{\ '}}{Y}$
将 $X^{'}移动到左侧，有：$
$X^{'} = f \frac{X}{Z}, \ \ \ Y^{'} = f \frac{Y}{Z}$
其中， $[X^{'}, Y^{'}]^T$ 是相机坐标系下，物体在成像平面的坐标。

2. 成像平面的坐标到像素坐标系下的图像坐标的转化

在相机坐标系下，坐标的单位是米；在像素坐标系下，坐标的单位是像素。
通常我们把图像的左上角作为坐标系的原点。所以同一个点，在相机坐标系和像素坐标系的坐标相差了一个缩放和原点的平移。
我们设在水平/垂直方向上的缩放比例是 $α$ 和 $β$ ，水平移动了 $[c_x, c_y]^T$ ，则物体的像素坐标 $[μ, ν]^T$ 可以表示为：
$μ = αX^{'} + c_x = αf\frac{X}{Z} + c_x$
$ν = αY^{'} + c_y = βf\frac{Y}{Z} + c_y$
将 $αf$ 设为 $f_x$ , $βf$ 设为 $f_y$ ，有：
$μ = f_x\frac{X}{Z} + c_x$
$ν = f_y\frac{Y}{Z} + c_y$

3. 归一化坐标

我们把相机坐标的 $P_w$ 投影到归一化平面，得到归一化坐标：
$P_c = [x, y, 1]^T = [\frac{X}{Z}, \frac{Y}{Z}, 1]$
可得：
$μ = f_x·x + c_x$
$ν = f_y·y + c_y$

4. 畸变修正

由于相机存在径向畸变和切向畸变，对于一个归一化平面上的点 $[x, y]^T$ , 将其转为极坐标的形式 $[r, θ]^T$ ，可以用以下公式得到修正后的坐标 [x_distorted, y_distorted]：
$x_{distorted} = x(1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6) + 2p_1xy + p_2(r^2 + 2x^2)$
$y_{distorted} = y(1 + k_1r^2 + k_2r^4 + k_3r^6) + p_1(x^2 + 2y^2) + 2p_2xy$