《矩阵论》03-基变换与向量变换

1.线性空间基的作用

定理1：设是线性空间V的一组基，是V的向量，则可以由基唯一线性表示。即：

2.向量在线性空间的坐标

设是线性空间V的一组基，V的向量可以由基唯一线性表示

.

则称有序数组

向量是一个抽象的，坐标是一个具体的，因此，我们在研究向量的时候，可以先研究其坐标。当把坐标研究清楚以后，在通过基反向研究向量。

而同一个向量，在不同基下的坐标是不一致的。

3.基的变换与坐标变换

一个线性空间可能有不同的基，因此，我们要考虑两个问题：

a.两组基底之间的过渡关系

b.同一向量在不同基底下坐标之间的关系。

假设 与是线性空间V的两组基。

则两组基底之间的过渡关系：

[]=[]A，则A就是过渡矩阵。

则同一向量在不同基底下坐标之间的关系：

X=AY

矩阵A是向量X向Y的过渡矩阵