对数与指数函数：1978年理数全国卷题8

2021-08-15 本文已影响0人易水樵

（8）已知 $\log_{18}9=a,18^b=5$ ，求 $\log_{36}45.$

【解答】

$18^b=5 \Rightarrow\; b=\log_{18}5$

$\log_{36}45=\dfrac{\log_{18} 45}{\log_{18} 36}=\dfrac{ \log_{18} 9 + \log_{18} 5}{ \log_{18} 18 + \log_{18} 2}$

$\log_{18} 18 = \log_{18} 2 + \log_{18} 9 \Rightarrow\; \log_{18} 2 = 1-a$

$\log_{36}45=\dfrac{a+b}{2-a}$

【提炼与提高】

这是一道人气超高的高考真题，众多高考教辅书纷纷选录。主要原因在于：题目简洁，难度适中，考查的知识点较为全面。可以这样说：如果一个学生能够流畅地解答本题，那他对于对数函数的主要公式基本上就掌握到位了。

本题既可以作为高一学习期间的补充习题，也可以用作为备考复习阶段的练习。

本题涉及的公式如下。

$\boxed{ a^b=c \;\Leftrightarrow\; b=log_a c \;( a \gt 0, a \neq 1)}$ 『对数的定义』

$\boxed{\log_a N= \dfrac{ \log_c N} { \log_c a} }$ 『换底公式』

$\boxed{ \log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y }$ 『化积为和』

$\boxed{ \log_a a =1}$ 『底数的对数等于1』

『常用推论』：若 $xy=a$ ；则 $\log_ax+\log_ay=1$ .