高等代数理论基础30：矩阵的分块

2019-01-11 本文已影响51人溺于恐

矩阵的分块

把一个大矩阵看成由一些小矩阵组成,就如矩阵由数组成一样,在运算中,把小矩阵当作数一样处理,即矩阵的分块

分块矩阵乘法

设 $A=(a_{ik})_{sn},B=(b_{kj})_{nm}$ ,把A,B分成一些小矩阵

$A=\begin{array}& &\quad\;\; n_1\quad n_2\quad \cdots\quad n_l\\ \begin{array}&s_1\\s_2\\\vdots\\s_t\end{array}&\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1l}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2l}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ A_{t1}&A_{t2}&\cdots&A_{tl}\end{pmatrix}\end{array}$

$B=\begin{array}& &\quad\;\; m_1\quad m_2\quad \cdots\quad m_r\\ \begin{array}&n_1\\n_2\\\vdots\\n_l\end{array}&\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1r}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2r}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ B_{l1}&B_{l2}&\cdots&B_{lr}\end{pmatrix}\end{array}$

其中每个 $A_{ij}$ 是 $s_i\times n_j$ 小矩阵, $B_{ij}$ 是 $n_i\times m_j$ 小矩阵

$C=AB=\begin{array}& &\quad\;\; m_1\quad m_2\quad \cdots\quad m_r\\ \begin{array}&s_1\\s_2\\\vdots\\s_t\end{array}&\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots&C_{1r}\\ C_{21}&C_{22}&\cdots&C_{2r}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ C_{t1}&C_{t2}&\cdots&C_{tr}\end{pmatrix}\end{array}$

其中 $C_{pq}=A_{p1}B_{1q}+A_{p2}B_{2q}+\cdots+A_{pl}B_{lq}$

$=\sum\limits_{k=1}^lA_{pk}B_{kq}(p=1,2,\cdots,t;q=1,2,\cdots,r)$

注：A的列的分法应与B的行的分法一致

矩阵分块证明矩阵乘积的秩的定理

将B分块, $B=\begin{pmatrix}B_1\\B_2\\\vdots\\B_m\end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix}a_{11}B_1+a_{12}B_2+\cdots+a_{1m}B_m\\ a_{21}B_1+a_{22}B_2+\cdots+a_{2m}B_m\\ \qquad\cdots\cdots\cdots\\ a_{n1}B_1+a_{n2}B_2+\cdots+a_{nm}B_m\end{pmatrix}$

显然AB的行向量是B的行向量的线性组合

将AB进行另一种分块乘法显然AB的列是A的列向量的线性组合

矩阵分块求逆

例：求矩阵的逆矩阵

$D=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&0&\cdots&0\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&0&\cdots&0\\ c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1r}\\ \vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\\ c_{r1}&\cdots&c_{rk}&b_{r1}&\cdots&b_{rr}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}$

其中A,B分别为k级和r级的可逆矩阵,C为 $r\times k$ 矩阵,O为 $k\times r$ 零矩阵

解：

$\because |D|=|A||B|$

$\therefore A,B可逆时,D也可逆$

$设D^{-1}=\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}$

$\therefore \begin{pmatrix}A&O\\C&B\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_{11}&X_{12}\\X_{21}&X_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E_k&O\\O&E_e\end{pmatrix}$

$其中E_k,E_r分别为k级和r级单位矩阵$

$\therefore \begin{cases}AX_{11}=E_k\\AX_{12}=O\\CX_{11}+BX_{21}=O\\CX_{12}+BX_{22}=E_r\end{cases}$

$\therefore X_{11}=A^{-1},X_{12}=A^{-1}O=O$

$X_{22}=B^{-1}$

$BX_{21}=-CX_{11}=-CA^{-1},X_{21}=-B^{-1}CA^{-1}$

$\therefore D^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\-B^{-1}CA^{-1}&B^{-1}\end{pmatrix}$

注：C=O时有 $\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix}$

对角矩阵

形式为 $\begin{pmatrix}a_1&0&\cdots&0\\ 0&a_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ 0&0&\cdots&a_l\end{pmatrix}$ 的矩阵称为对角矩阵,其中 $a_i(i=1,2,\cdots,l)$ 是数

形式为 $\begin{pmatrix}A_1& & &O\\ &A_2\\ & &\ddots\\ O& & &A_l\end{pmatrix}$ 的矩阵称为准对角矩阵, $其中A_i$ 是 $n_i\times n_i矩阵(i=1,2,\cdots,l)$

注：准对角矩阵包括对角矩阵

对于两个有相同分块的准对角矩阵

$A=\begin{pmatrix}A_1& & &O\\ &A_2\\ & &\ddots\\ O& & &A_l\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}B_1& & &O\\ &B_2\\ & &\ddots\\ O& & &B_l\end{pmatrix}$

若它们相应分块同级,则

$AB=\begin{pmatrix}A_1B_1& & &O\\ &A_2B_2\\ & &\ddots\\ O& & &A_lB_l\end{pmatrix}$

$A+B=\begin{pmatrix}A_1+B_1& & &O\\ &A_2+B_2\\ & &\ddots\\ O& & &A_l+B_l\end{pmatrix}$

AB,A+B依然是准对角矩阵

若 $A_1,A_2,\cdots,A_l$ 都是可逆矩阵,则

$\begin{pmatrix}A_1& & &O\\ &A_2\\ & &\ddots\\ O& & &A_l\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A_1^{-1}& & &O\\ &A_2^{-1}\\ & &\ddots\\ O& & &A_l^{-1}\end{pmatrix}$