20170716数学思维（转载）
最近群里讨论数学思维，看看专业人士怎么说。
数学思维到底该咋建立？学而思的奥数班究竟有没有用？ | 教育迷思（3）
原创 2017-06-29 孙明展 孙明展－真理财 孙明展－真理财
熟悉我的粉丝知道，我是数学系出身，本科学应用数学，研究生是概率统计专业的，目前在双鸭山大学（哈哈，中山大学）的统计系担任专业硕士导师，每年参与研究生答辩。
所以自从开始讨论教育，就有很多粉丝在后台问我，如何激发孩子学习数学的兴趣？学而思的奥数班到底有没有用？
日常生活中我也碰到过很多家长，自己对数学毫无兴趣，却格外关注数学学习。
有的出于应试考虑，希望“学而思”等课外机构学奥数，在升学考试中取得好成绩，进而获得一个好学位；
有的可能看得更远，希望培养孩子的数学思维，人工智能已经步步逼近，可能未来就是一个算法的世界，是数学家统治的世界，感觉不学好数学，未来的精英之门都要向TA关闭了。（其实也没这么夸张，还有艺术之门呢）
看来，谈教育就很难绕得过学而思，也很难绕得过数学这个“难题”、“话题”。
到底什么是数学思维？数学思维在我们的人生中到底有多重要？如何培养数学思维？今天我们就谈谈这个问题。
什么是数学思维？
先跟大家说件最近听说的事儿，大家也练练脑：
朋友的公司最近正在招人，由于公司效益好，简历特别多。
一开始他们只是设定了专业的要求，没有设置学历的要求。朋友就跟HR说，我们要提高招聘标准，不然面试的人数太多。
随后HR就给出了一个新的招人条件——
原先只看专业，现在的条件变成“先看专业，如果专业不合格就看学历”，只要学历高，也可以进面试。这就是这位HR理解的所谓“提高”了面试条件。
我这个朋友是学理科出身，当时就乐了。
我听了之后，也是笑坏了。
这个HR说，先看专业，专业不行的再看学历，这哪里是提高招聘标准的意思？这明明是降低标准嘛。
用数学的语言来解释——
原先只看了专业，如果要提高标准，应该是取专业合格且学历也合格的交集；
若是先看专业再看学历，这就变成了专业和学历的并集，只要专业和学历有一个达标就可以进入下一级了。
相信很多朋友看了这一段还是云里雾里的，其实这个故事就是一个典型的缺乏数学思维的HR闹出来的笑话。
交集和并集，这是高中学的数学知识点，相信大部分人都学过，却早已经还给老师了。
把具体问题抽象到数学思考里，我还可以讲一个著名数学家亚伯拉罕·瓦尔德（Abraham Wald）与失踪弹孔的故事。
1902年，亚伯拉罕·瓦尔德出生于当时的克劳森堡，隶属奥匈帝国（后隶属罗马尼亚）。瓦尔德是一位天生的数学家，凭借出众的数学天赋，他被维也纳大学录取。后来去了纽约。
二战期间，瓦尔德都在哥伦比亚大学的统计研究小组（SRG）中工作。统计研究小组是一个秘密计划的产物，它的任务是组织美国的统计学家为“二战”服务。
当时军方需要解决飞机被击落的概率问题，只要降低飞机被击落的概率，就可以夺得空战的优势。
数据分析后，有人发现返航的飞机中，大部分的弹孔出现在机翼和机身，而发动机几乎没有弹孔，所以军方就认为应该对机翼和机身披上装甲。
瓦尔德却给出了一个完全不同的答案。
他说，需要加装装甲的地方不应该是留有弹孔的部位，而应该是没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎。
瓦尔德的独到见解可以概括为一个问题：
飞机各部位受到损坏的概率应该是均等的，但是引擎罩上的弹孔却比其余部位少，那些失踪的弹孔在哪儿呢？瓦尔德深信，这些弹孔应该都在那些未能返航的飞机上。胜利返航的飞机引擎上的弹孔比较少，其原因是引擎被击中的飞机未能返航。大量飞机在机身被打得千疮百孔的情况下仍能返回基地，这个事实充分说明机身可以经受住打击（因此无须加装装甲）。
如果去医院的病房看看，就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多，其原因不在于胸部中弹的人少，而是胸部中弹后难以存活。
当然，瓦尔德是对的。
为什么瓦尔德能看到军官们无法看到的问题？根本原因是瓦尔德在数学研究过程中养成的思维习惯。从事数学研究的人经常会询问：“你的假设是什么？这些假设合理吗？”
在这个例子中，军官们在不经意间做出了一个假设：返航飞机是所有飞机的随机样本。如果这个假设真的成立，我们仅依据幸存飞机上的弹孔分布情况就可以得出结论。但是，一旦认识到自己做出了这样的假设，我们立刻就会知道这个假设根本不成立，因为我们没有理由认为，无论飞机的哪个部位被击中，幸存的可能性是一样的。用数学语言来说，飞机幸存的概率与弹孔的位置具有相关性。
——素材选自《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》
这就是典型的数学思维。导致弹孔问题的是一种叫作“幸存者偏差”（survivorship bias ）的现象。这种现象几乎在所有的环境条件下都存在，包括金融界。
其实数学家得出的这个结论，如果用概率论的详细分布公式去验证，是极为复杂的。这种先假设求证，再在现实中不断反复推演的思维方式，才是真正的数学思维。
数学带来安全感？
个体心理学的大家阿德勒曾经这样谈论“数学”：
我们将一个孩子是否运用数学视为一个孩子是否心理健康的重要指标。因为数学是少数几个给人安全感的学科之一。
数学上的思想操作，可以让我们周围混乱的世界，通过数学间的运算而稳定下来。但具有强烈不安全感的人，通常在数学方面都有欠缺。
——《儿童的人格教育》
听起来，在心理学大师眼里，数学也是极为重要的。当然，除了数学，他也提到了写作、绘画、体操和舞蹈等。
我的理解是，为什么数学能带来安全感？因为世界是无常的，而数学能够通过形式逻辑把事情变得确定。
当然，就算数学这种方法是可信的、科学的，可是由于掌握的数据不足，我们依然不能完全把握自己的命运。每个人都是在这种安全与不安全之中游离。
如果只看到那些我们把握不了的东西，毫无疑问，心理就会不健康，没有安全感。所以，我们需要去思考那些能把握的东西，而能把握的东西，其实本质上就是我们的思维方式、逻辑推理的方式。
数学教育渠道有哪些？
数学对于未来教育而言，非常重要。
现在的孩子，能够接触到的所有跟数学相关的教育渠道有哪些呢？
从家长们的讨论看，自己数学不好，想提高孩子的数学思维感觉就是无门了，好像必须推给“学而思”了。
其实，在互联网时代，什么资源都不缺。这些年，关于数学思维的讨论多了，数学学习资源也多了。
第一类，最常见的就是课内数学的补充，比如学而思这种课外辅导班、奥数班；
第二类，不以应试为目的的数学思维启发课程，以低龄为主，一般针对5-10岁的孩子；
第三类，网络课程资源，比如说像可汗学院这样从数学起步的慕课课程，可以从数数一直教到微积分复变函数实变函数，经过很多人验证，完全可以达到相应的数学层级的要求。
这么多资源，如果要培养数学思维，真正可以用得上是哪些资源呢？
关于奥数班
奥数班、学而思到底好不好？
我从小学开始进入奥数班，一直到中学六年，后来又专业读数学。虽然不才，没有成为数学家，好歹也有些经验。
坦白讲，我认为解答难题是进入数学思维的开始。如果永远谈基础要扎实，不断把过去学过的简单知识反复应用，这是无助于数学思维的，这叫理科学习文科化、数学学习政治化。天天把加减法背到烂熟，也和数学思维没有一毛钱关系。我们中国的老太太，在菜市场可以轻松玩转加减法，她们可不一定有数学思维。
最近，国内有个教育机构邀请了美国奥数队的教练，卡耐基梅隆大学的数学教授罗博深做了一个讲座，他也谈到这个问题：中国孩子做题很快，而数学真正的乐趣在于做难题，挑战自己，而不是重复计算机可以做的事情。
我读书时还没有什么课外辅导班，都是学校老师召集一些尖子生在搞奥数；现在听说已经不同了，学校老师不敢z也不愿意去承担这项工作，奥数也不再是少数人的事情，全民学奥数，成了商业机构的盈利点。
学而思或者奥数班，能够推动孩子们，从具体到抽象，去解决较难的、进阶的问题，这是好的一面。
可是我们见到的奥数班普遍存在着一种倾向——同一类问题的熟练程度掌握（刷题）。虽然提高难度很有意义，可是难度提高之后，就在这个难度上反复训练直至熟练掌握套路，这就犯了与课内教育相同的错误，又偏离了向数学思维行进的方向。
关于数学思维启蒙班
上周，我就带着8岁多的儿子，亲身去体验了一个数学思维启发课程：教具十分新颖，教学思路也比课堂和辅导班有趣得多。
可是它的不足在于，它的高度并不是逐层向上累进，而是一种散点式的头脑体操，比如说今天拼个图，明天做个棋类的数字游戏。对数学思维的培养，只能起到一半的作用。
关于网络学习资源及其他
可汗学院的数学课应该大家都比较熟悉了，现在也已经有了中文版，不了解的可以到度娘查一查。
刚才说的罗博深教授也做了一个网站（https://www.expii.com/solve），据说是选出了350道有趣的题目让大家免费挑战。
现在也有很多翻译著作非常好，如我已经推荐过的《数学很好玩》（具体名字记不清了），就是从身边的数学谈起，引申到6个数学难题，展示了数学之美与深奥。
《迷人的数学》这本书，是儿子的同学家长借给我的，也是很不错的书，适合中学的孩子了解数学史。
这类关于数学思维的书籍，近些年来随着这个概念的兴起，而不断传入中国。有心人都可以找到。
我来总结一下，数学思维培育的大致路径是这样：
通过课内学习，已经初步具备解决基础数学问题的能力→通过一些数学思维课进一步激发学数学的兴趣→找到可汗学院这样的系统学习平台，通过不断推进学习新知识来强化旧知识的掌握→有兴趣的同学学奥数解决数学难题
有了这种抽象的思维能力之后，再去看待现实生活中发生的头绪纷杂的事情，能够根据已有的形式的符号代入，来解决实际的问题，这才是真正的数学思维的一种循环。
怎么规划数学学习？
虽然越来越多家长意识到数学思维的重要性，可是有多少家长会对如何进行数学学习这个问题做系统性的思考呢？根据我的观察，很少很少。
很多家长本身从小就对数学充满了恐惧，现在忽然意识到数学思维是影响孩子未来成长的重要因素，既茫然又焦虑，更容易无方向地乱撞乱试。
到底该如何制定一个有目标的整体的数学学习规划？
数学能力的培养，离不开儿童认知的发展。所以，我们还是有必要先看一看皮亚杰的儿童认知发展四阶段理论。到目前为止，这还是被广泛认同的。
1
第一阶段：感知运动阶段（0-2岁）；
2
第二阶段：前运算阶段（2-7岁），儿童认知出现象征或符号功能。这一阶段又划分为两个阶段：前概念或象征思维阶段（2～4岁）和直觉思维阶段（4～7岁）。
3
第三阶段：具体运算阶段（7-12岁）：儿童这时进行的运算仍需具体事物的支持，对那些不存在的事物或从没发生过的事情还不能进行思考。
4
第四阶段：形式运算阶段（12-15岁）：思维不必从具体事物和过程开始，可以利用语言文字，在头脑中想象和思维，重建事物和过程来解决问题。
并不是所有儿童都在同一年龄完成相同的阶段，但这些阶段都是必经的。
在此，给大家几点可以操作的建议：
01
直觉思维阶段
在孩子早期的时候，例如四到六七岁，可以用形象的方式让孩子对数学开始有感觉。比如说各种各样的游戏，包括益智类桌面游戏；还有现在层出不穷的数学绘本。蒙特梭利教具，也是这一阶段不错的选择。
在早期，孩子对抽象思维是没有兴趣的，应该用形象的游戏化的方式激发孩子的兴趣。
我十分认可这种引导孩子学习数学的入门做法。可是，作为一个专业学数学的人，我也得明确告诉大家——真正的数学思维恰恰在于抽象的能力，不要指望完全通过形象化的方式来建立数学思维。
根据皮亚杰的观点（《智力心理学》），很多孩子的智力不差，但是数学能力却不好，这是一个世界常见的现象。为什么会出现这种情况呢？
什么是智力？智力是我们解决问题本身的逻辑思考能力。可是数学却是了解逻辑结构的专属科学。
我们不了解逻辑结构但依然可以用逻辑用得很好，就好比很多人不了解乐理，但是唱歌唱得很好，但这样的人不能说他音乐素养很高。同理，很多智力很高、数学能力很差的孩子也佐证了这一点。
从这个角度，益智游戏是可以激发人的智力，但是如果不加引导，还是无法转化为数学思维。
2
具体运算阶段
这个阶段大概在7-12岁，就是小学阶段。这个阶段，家长应该开始密切观察，当孩子对这些益智游戏有感和某些数学难题有兴趣的时候，要开始进入数学思维的引导。
如果家长自己无法把游戏转化为数学语言，就要借助专业机构的一些课程，比如学校的数学学习，或者可汗学院的初级课程。课外的某些数学思维课程，也是可以尝试的。这些课程普遍会在形式上下功夫，比较有趣。
这类数学游戏其实在某宝上特别多，大同小异，可以让孩子玩玩，不要太迷信就是了，会玩游戏和学数学还是两码事。
3
形式运算阶段
到了初中阶段（12-15岁），就是真正塑造数学思维的阶段了。在这个时候，如果真要培养数学思维，就应该快速向前，推动孩子从形象表达、图形表达中迅速上升到抽象表达，要鼓励孩子迈过抽象这个难关，这可能才是真正培养数学思维的开始。
当观察到孩子通过形象化的方式对数学建立起一定的认知，能够解决一些简单的数学问题后，要马上进入下一步，进入抽象的能力。
什么叫抽象的能力？前面说的失踪弹孔的故事说的是一个抽象能力，把具体的现实生活中的问题，抽象成数学的语言，再通过数学中已有的结论来解决。
这个过程恰恰是形象思维的反过程，是真正体现数学思维的过程。
我认为数学思维有两个不可缺少的因素：
第一个是用数学的方式把具体问题抽象出来的能力；
第二个是感受纯数学之美的能力。
数学之美的传递，绝不是依靠机械传统的数学教育，很多数学家都在数学教育方面做出了努力，父母自己也可以先去看看。
在《爱与数学》这本书中，著名的数学家爱德华.弗伦克尔这段话写得非常好，就好像是我们中国的数学教育的写照，看来全世界的数学教育都差不多——
如果学校在我们必修的“美术课”上只教给我们粉刷篱笆的方法，却从来不各我们展示达芬奇与毕加索的作品，那么大家会有什么样的感觉呢？这样做能提高艺术鉴赏力吗？你还会有学习的欲望吗？我想答案是否定的。。。但是，学校就是这样教授数学的。因此，在大多数人眼中，学习数学毫无意义，就像在篱芭旁边坐等油漆干透。
想要看到美术大师们的画作并不那么困难，但是数学大师们的研究成果却通常被束之高阁。
数学教育是如此僵化，我们也只能依靠自己了。
要敢于去理解抽象，敢于去挑战，这是建立数学思维需要具备的能力。这是父母必须传递给孩子的，鼓励他们，而不仅仅是把他们送到辅导机构，学会刷题。
当然，到了这个阶段，自学能力是更为重要的，父母除了精神鼓励、帮忙找找学习资源之外，已经很难进行具体的指导了。
关于进入形式运算阶段的年龄，按照皮亚杰的观点，可能要到12岁以上，才会有这种抽象思维的能力。不过很多伟大的物理学家、数学家可能十四五岁时已经在学微积分了。
皮亚杰的时代已经过去几十年，时代环境都在变化，其实是不能迷信的。但是目前很多早教和儿童发展的观点还是延用了他的观点。
我的态度是，每个孩子的情况不同，需要家长细心观察。
前面提到的数学思维，其实并不属于专业的数学家范畴。
数学家爱德华说，我们学几个和弦可能就能弹奏吉他来点缀生活，但绝不是要求你成为一个音乐家或吉他演奏专家。
我们了解数学的基本概念，有一定的抽象能力，能够感受数学之美，就能在生活中、学习其他学科时游刃有余了，并不是要求孩子们都成为数学家。
残忍地说一句，如果你不想当甩手掌柜，数学思维的培养，某种程度上来说还是要依靠家长自身的视野和对资源的把控力（另外，你自己首先要克服当年对数学的恐惧吧，否则这种心态也是会传染的）。
在这个日新月异的时代，一个数学的学习尚且如此，更不要说给孩子制定更加系统的成长和学习的规划了。
