从这一章开始我们就来介绍下用R处理双层次的模型

R包

首先介绍一下在多层次模型中，可以用R包nlme的nlme()函数来实现建模，或者R包lme4的lmer()函数，接下来，我们就看一下这两个函数的用法：

lme(fixed, data, random, correlation, weights, subset, method, na.action, control, contrasts = NULL, keep.data = TRUE)

lmer(formula, data, family = NULL, REML = TRUE, control = list(), start = NULL, verbose = FALSE, doFit = TRUE, subset, weights, na.action, offset, contrasts = NULL, model = TRUE, x = TRUE,...)

下面我们就来看一下怎么具体使用这些函数

nlme包

1. 简单多层次模型

回顾下第二章的固定效应和随机效应

比如这个模型，β0j代表截距，属于随机效应，那么β0j即为随机截距，因为每一个类的截距都不一样；β1j代表斜率，也属于随机效应，不过是β1j = γ10（每个类斜率的均值），所以β1j是固定的
其中Var(εij) = σ^2组内方差；Var(U0j) = τ^2 组间方差
此例子的固定效应是主要研究阅读分数x与词汇分数y的线性关系；而随机效应则是对Level1的线性回归系数的影响

我们以第二章的例子，以学校聚类，阅读分数与词汇分数的相关性的例子为例

Model3.0 <- lme( fixed = geread~1, random = ~1|school, data = Achieve)

其中fixed代表固定效应，random代表随机效应。

Model3.0

我们可以看到结果，固定效应中仅有阅读分数，没有其他关系
而随机效应也仅有以学校作为分类的数据，无其他关系（这里的其他是指影响因素）
这是计算的结果，可以看到固定效应和随机效应的参数
就此，我们可以计算下ρΙ ：

其中该例子的随机效应是不同的学校，即以学校作为分类
此时的τ^2 = 0.6257199（类间方差）， σ^2 = 2.24611（残差，类内方差）

如果我们把模型改写一下：

Model3.1 <- lme( fixed = geread~gevocab , random = ~1|school, data = Achieve)

Model3.1
此时我们可以观察到固定效应的结果，形成了一元线性关系，而随机效应仍然还是和Model3.0一样，无其他关系
我们介绍下R^{2如何计算，因为这个模型是嵌套模型，所以R}2应该分层次计算，首先对于Level1：
Model3.1 Level1 R^2
其中σ(M1)^2 = 1.940760,τ(M1)^2 = 0.3167654 这里的M1代表Model3.1中随机效应的σ^2和τ2；σ(M0)^2 = 2.24611,τ(M0)^2 = 0.6257119 这里的M0代表Model3.0中随机效应的σ^2和τ2
那么这里的Model3.0即为我们的null model ，Level1的R^2表示为大约Model3.1较Model3.0来说有21%的差异

对于Level2来说：

Model3.1 Level2 R^2
式子里面的B是10320/160 = 64.5，其中10320为总的观测值，160为分组的数目
其中σ(M1)^2 = 1.940760,τ(M1)^2 = 0.3167654 这里的M1代表Model3.1中随机效应的σ^2和τ2；σ(M0)^2 = 2.24611,τ(M0)^2 = 0.6257119 这里的M0代表Model3.0中随机效应的σ^2和τ2
Level2的R^2表示为大约Model3.1较Model3.0来说有48%的差异

下面我们来看下一个模型：

Model3.2 <- lme( fixed = geread~gevocab + senroll, random = ~1|school, data = Achieve)

Model3.2

此时的固定效应为二元线性关系，而随机效应还是像Model3.0和3.1
再来看

Model3.3 <- lme( fixed = geread~gevocab, random = ~gevocab|school, data = Achieve)

Model3.3

固定效应为一元线性关系，而随机效应有了交互作用即gevocab|school的交互项,因为有了交互，所以τ^2 = 0.5316640，σ^2 = 1.9146629

再来看随机效应为双因素影响的

Model3.4 <- lme(fixed = geread~gevocab + age, random = ~gevocab + age|school, data = Achieve)

Model3.4

固定效应为二元线性关系；而随机效应有两个因素，其中age|school 的随机方差系数为0.006388612，gevocab的随机方差系数为0.137974552，所以对于随机效应，gevocab（词汇成绩）的影响更大，准确说是对Level1的线性回归系数的影响更大一些

交互项

接下来我们考虑下固定效应模型中含有交互项的情况

Model3.5 <- lme(fixed = geread~gevocab + age + gevocab*age, random = ~1|school, data = Achieve)

Model3.6 <- lme( fixed = geread~gevocab + senroll + gevocab*senroll, random = ~1|school, data = Achieve)

Model3.5

这个模型的固定效应中加入了交互项gevocab:age，其系数为0.005027；随机效应与Model3.0和Model3.1相同
其中gevocab的系数p_value = 0.8814 > 0.5,统计学不显著

Model3.5 correlation

这一块衡量的是固定效应中各项的相关性

Model3.6

此例中交互项gevocab:senroll的系数为-0.0001356

Model3.6 correlation

固定效应中各项的相关性

中心化

如果我们对Model3.5的数据进行中心化

#中心化
Cgevocab <- Achieve$gevocab – mean(Achieve$gevocab) 
Cage <- Achieve$age – mean(Achieve$age)

#建模
Model3.5.C <- lme( fixed = geread~Cgevocab + Cage + Cgevocab*Cage, random = ~1|school, data = Achieve)

Model3.5 centering

中心化以后各项系数也会随之改变，并且各个系数显著性更加显著了，其中gevocab（Cgevocab的系数是显著的

lme4

接下来我们介绍一下lme4这个包的用法，其实结果与lme()是相同的

Model3.7 <- lmer(geread~gevocab +(1|school), data = Achieve)

这里的固定效应和随机效应写在一个式子里，随机效应项打括号写（1/school）

Model3.7

其实结果解读与lme()相似，这里就不再赘述，其中τ^2 = 0.31588（类间方差）， σ^2 = 1.94074（残差，类内方差），不同软件算法有区别故值不同

添加MCMC元素去计算p_value和置信区间

library(coda) library(languageR) Mo del3.7.pvals<-pvals.fnc(Model3.7, nsim = 10000, withMCMC = TRUE)

固定效应：

Model3.7 fix

随机效应：

Model3.7 random

lower是下区间，upper为上区间，pMCMC为MCMC计算的p_value

类似的，我们再看一下多因素的随机效应表示：

Model3.10 <- lmer( geread~gevocab + age+(gevocab + age|school), Achieve)

Model3.11 <- lmer( geread~gevocab + age+ (gevocab|school) + age|school), Achieve)

Model3.10 Model3.11 上
Model3.11 下

总的来说，对于随机效应项lmer()比起lmer()多了随机截距的方差，随机斜率的变化性和随机截距与随机斜率的相关性（corr那一项）

参数估计

1.极大似然法

比方说对Model3.1的参数估计

Model3.12 <- lme( fixed = geread~gevocab, random = ~1|school, data = Achieve, method = "ML")
#REML = FALSE 即为ML
Model3.13 <- lmer( geread~gevocab + (1|school), data = Achieve, REML = FALSE

其中REML为 restricted maximum likelihood

2.控制估计

在参数估计的函数里面加参数

Model3.14 <- lme( fixed = geread~gevocab, random = ~1|school, data = Achieve, method = "ML", control = list(maxIter = 100, opt = "optim"))

Model3.15 <- lmer( geread~gevocab + (1|school), data = Achieve, REML = FALSE, control = list(maxIter = 100, opt = "optim"))

我们知道，大部分求解过程都是没有解析解的，只有数值解，所以常常用迭代的方法求解
其中 control = list(maxIter = 100, opt = "optim") 代表在求解参数最大的迭代次数为100

3.利用Chi squared test比较模型的拟合程度

我们知道，不同的方程，模型其对数据的拟合程度是不同的，那么我们可以利用检验方法选择最优的模型
其中可以利用AIC,BIC判断共线性
比较两个模型哪一个更优我们可以用anova()

Model3.1 <- lme( fixed = geread~gevocab, random = ~1|school, data = Achieve, method = "ML")

Model3.2 <- lme( fixed = geread~gevocab + senroll, random = ~1|school, data = Achieve, method = "ML")

anova(Model3.1, Model3.2)

结果

4.参数估计的置信区间

关于置信区间的内容我之前有推送介绍过
那么在模型中，我们可以利用函数intervals()，我们以Model3.3来做例子，这里求得是95%置信区间

#95%置信区间
intervals(Model3.3)

那么我们的固定效应和随机效应参数置信区间如下图所示：

Model3.3 intervals