赌博中的不败之法

2022-02-19 本文已影响0人乘瓠散人

你想在赌博中赢吗？

假设你和朋友打赌猜测抛出的硬币是正面朝上还是反面朝上？
对于正常硬币，正面或反面朝上的概率都是1/2。然而，对于特殊硬币，我们假设正面朝上的概率为 $p$ ，反面朝上的概率为 $q$ ，其中 $p+q=1$ 。

若刚开始时你手中有 $m$ 元，每次赌注为1元。赌博最重要的是把握脱身时机，比如当手头的钱增多到 $N$ 元时果断收手。此时，我们将赢钱的概率记作 $P(m, N)$ ，这个概率大于 $1/2$ 则有赢钱的希望，否则还是尽早收手为好：

$P(m,N) = \frac{1 - (q/p)^m}{1 - (q/p)^N}$
(证明过程见作者的个人主页，然而是日语！！)

当 $p=q=1/2$ 时，由于此时 $P(m,N)=\frac{0}{0}$ 没意义，我们此时定义 $P(m,N)=\frac{m}{N}$ 。比如此时 $P(10,20)=0.5$ ，也就是拿10块钱去赌博，所持金额翻倍的概率和输光破产的概率五五开。
当 $p\neq q$ 时，比如当 $p=0.47, q=0.53$ 时， $P(10,20)\approx 0.23$ ，也就是只要在硬币上稍微动个手脚，输光的概率就升至 $77\%$ 。当赌注更多时，结局会更惨，比如 $P(50,100)\approx 0.0025$ 。

这也是赌场能够盈利的原因所在。比如美式轮盘上有38个小方格，其中18个红色，18个黑色，另外还有标有0和00的小方格，一旦转到这两个小方格，钱归庄家所有。在这个情况下，对玩家来说，赢的概率为 $p=18/38\approx 0.47$ ，与上面情形相同。

反过来说，想要在赌博中赢，只要设法让 $p$ 大于 $1/2$ 即可。例如纸牌赌博21点，在美国的赌场中，玩21点赢的概率大概设定在 $p=0.495$ ，但只要提前记住发的纸牌，赢的概率就会增至 $p=0.51$ 。

公式 $P(m, N)$ 教给我们，即使是仅有轻微不利条件的赌博，也绝不能参加。类似轮盘赌或老虎机这种庄家可以控制 $p$ 的赌博，很容易输。反之，在条件稍微对自己有利时投入充足的资金加上谨慎操作，的确能够在赌博中赢钱。

抛硬币时，如果 $p=0.47$ ，那么50元翻倍的概率只有 $0.25\%$ ，但是如果 $p=0.53$ ，那么赢的概率达到 $99.75\%$ 。概率 $p$ 的值相差甚微，结果却会产生巨大差异。由此可见，如老话所说，“每一天的积累很重要”。

我们常常认为成功人士拥有某种异于常人的才能。当然其中有一部分人确实拥有不一样的才能，不过大部分人与常人并无不同。只不过这类人懂得一步一步积累，将概率变成对自己有利的条件，从长远来看便于常人拉开巨大的差距。

《用数学的语言看世界》[日] 大栗博司著；尤斌斌译