十二平均律

声音物理特性

• 发声体（声带、各种乐器等）发生特定的振动，包括了发声体内部的空气的振动。这种振动有时会呈现出一定的规律性，比如形成音乐的振动一般具有固定的振动频率
• 震动的发声体带动了其表面的空气，使空气也产生了与发声体振动方式相似的振动。这种振动，在空气中会以纵波的形式向远离发声体的方向传播。同事，发声体内部如果与外部连通的话，其内部的空气振动也会从开口处（比如喇叭口）传播到外部。这种在空气中传播的振动，被称为声波。
• 从发声体处产生的声波，通过空气向远处传播（中间往往会发生一定的反射和折射等），最终进入人的耳朵，带动听觉器官（耳膜和听小骨）发生相似的振动
• 听觉器官将本身的振动转化为神经信号，传递到人的大脑的听觉中枢。听觉中枢对神经信号进行解析，最终形成了人听到的声音

音高的概念

• 指各种高低不同的声音，即音的高度，音的基本特征之一。音的高低是有振动频率决定的，两者成正比相关关系：频率（即单位时间内振动的次数）高则音高，反之则低
• 人耳对声音调子的高低的主管感觉。主要取决于频率的高低与响度的大小。频率低的调子个人以低沉、厚实、粗狂的感觉；频率高的调子给人以亮丽、明亮、尖刻的感觉。
• 钢琴键盘上，自左向右，琴键对应的音的频率逐渐提高，音高也逐渐提高

八度音

• 现代生物学研究表明，人耳的敏感程度与声音频率大致呈指数关系。例如：对人类的听觉来说，220Hz到440Hz之间的差距与440Hz到880Hz之间大致相同。所以我们可以给它们相同的音名。比如C，然后划分为不同的音域。虽然古人不懂物理和生物，但是和他们还是不约而同地根据经验发现了这个现象。每当声音的频率翻倍，我们就记它为一个单位--西方叫“八度”，东方叫“均”
• 八度分割
• 假设两个音的频率分别为220Hz和440Hz，分割音程就在这两个数之间插入若干个其他频率的音
• 决定音程的是频率的比值，因此最重要的参考量就是相邻的两个音的频率比值
• 不同的音都是“平等”的，这种分割应该是“平均”的，name，相邻的两个音的频率比值应该是统一的
• 以下用数学手段来描述这种分割。
  假设将八度音程“均匀”分割为n份，相邻的两个音的频率比值为k，那么：

k与n的关系也可以表示为：

或者：

事实上，在人类发展出的音乐体系中，n
n 的选值是唯一的，那就是 12 。这是一个“冥冥中注定的数字”

• 我们在卡拉OK唱歌时，男生唱女生的歌通常会降低八度来唱，而女生唱男生的歌通常会升高八度来唱。虽然有时听起来会有点怪，但这样演唱可以保证与伴奏一致。之所以会这样，正式由于相隔八度的音，其内部存在本质的联系，使它们听起来十分相似。

十二平均律分割原理

振动的弦.jpg

• 人类的听力范围大约是20~20000Hz。低于这个频率的成为次声波，高于它的成为超声波。日常生活中的声音通常由许多不同频率的波叠加而成，单一频率的简谐波会给人刺耳的感觉。这是人耳在进化中适应环境的结果，因为自然界的物体在振动发生时，除“基音”外通常都伴有一系列“泛音”。例如，拨动一根两端固定的弦，它可以按下图所示的各种方式振动。最上方的振动频率称为弦的本征频率，下方的频率依次是它的N倍。弦的本征频率与弦的长度和张力有关，大部分弦乐器都是通过调节二者来进行校准。弦在实际振动时，是上图中的各种振动方式并存的，本征频率对应着基音，而其他频率对应着泛音。它们按不同的比例叠加，这个比例决决定了乐器的银色。比如，音高同为中央C，钢琴发出的声音和小提琴发出的就有明显的不同，因为他们的泛音比例不同。

• 由于自然界中声音的这个特点，人耳会自动整合基音和泛音，让它们听起来像一个纯音。反过来说，听觉中的一个纯音事实上由频率为f的基音和一系列频率为2f、3f...的泛音组成。人们发现，两个纯音的基音频率之比若为简单的整数比，则它们听起来是和谐的，因为此时它们共享许多的泛音。音律就是基于这个原理派生音阶的。选定一个基础频率f，比如现在通用的国际标准是440Hz的A音、然后它的2倍频率就是#A，4倍频率就是##A；它的二分之一频率是bA，四分之一频率是bbA等，这样就派生出所有的A音。相邻两个A音之间的频率之比都是2:1，音律中称之为一个八度。相差一个八度的两个音亮起来很相似，因此以一个八度作为音阶的周期。

• 进一步，我们只需派生出一个周期中的其他音阶就可以通过2:1的比例关系派生出所有周期内的其他音阶。考虑除了2:1之外，最简单的整数比就是3:2。事实上，早在春秋时期先贤们就发明了“三分损益法”，它就是根据这个比例进行生律。具体来说，即从当前频率f开始，进行如下步骤：

  • 1.记录当前频率，然后乘以3/2
  • 2.结果小于2f，则转到1；
    若大于2f，除以2再转到1；
    若大于2f，结束。
    这样可以记录下f和2f之间的一些列频率。然而，由于2和3是互质的，不存在两个证书m、k使得,程序永远不结束，我们得到的f和2f之间有无穷多个频率。这远远超出了音乐的需要，因为人耳能分辨的频率差异的有限的。因此，我们希望找到互质的证书m、k使得足够接近3/2。这等价于寻找 ( - )/ 0.5849625 （记为X）的一个合适的有理数逼近。而且不难看出，的那我们用代替3/2进行上面的程序时，结束前我们总共找到m个频率。因此，为了使音律尽量简洁，当逼近误差相同时，m越小越好。我们的这种需求，在数学中被称为最佳有理数逼近问题，而连分数展开”恰是这个问题的答案。

• 分连数展开
  对任意的一个数a, 如下程序的输出称为a的连分数展开：

  • 1.去b为不大于啊的最大整数，并输出b；
  • 2.若a - b > 0，则取新的a等于 a - b 的倒数，然后转到步骤1；
    若 a - b = 0，则结束。
    注意，当a为无理数时，程序不会结束。即无理数的连分数展开是一个无穷整数列，例如圆周率π的连分数展开为[3,7,15,1,292,1,1...]。

它对应着π的一系列有理逼近。第一次近似是3，然后是 3 + 1 / 7 = 22 / 7 ，即祖冲之当年发现的“约率”；第三次近似是 3 + 1 / (7 + 1 / 15) = 355 / 113，即祖冲之的“密率”。我们可以继续计算下去，得到误差越来越小的逼近。连分数后展开之说以成为最佳有理数后逼近，是因为通过它得到的每一次近似，都适合当前精确度最高的。即比带有更小分母的任何有理数都更接近a。

下面我们就用计算连分数的方法来寻找X的一个核实好好的有理逼近。输入X后的输出为[0,1,1,2,2,4,...]。它对应的第三至第六次近似数分别是1/2,3/5,7/12,31/53。最后一个分母53显然太大了，很难想象在一个八度内就有53个音阶的“魔鬼”音律；而前面两个的误差又太大了，因此我们选取 7 /12 0.58333 作为 X 0.5849625 的近似，这样的误差人类基本上听不出来。于是，在一个八度中我们派生出12个音阶，而且相邻两个音阶的频率之比固定不变。这就是现在音乐中被广泛使用高度十二平均律

参考资料