第十四讲静电场库伦定律by赵常青

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静电场库伦定律

知识点

电场和电势分别描述的什么？
- 电场：由电荷激发且存在于电荷周围空间，传递电荷之间的相互作用的物理量。用来描述，电场的大小和方向（等势线疏密）。
- 电势：处于电场中某位置单位正电荷所具有的能量大小。
电量为Q的点电荷(场源电荷)，在距离它为的场点产生的电场和电势分别为？
- 电场： $E= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q}{r^2} $
- 电势： $\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q}{r}$
电场和电势遵守何种叠加原理？
- 电场是矢量遵循矢量叠加，电势是标量遵循标量叠加。

表达题

电量分别为 $Q_{1}=1$ 和 $Q_{2}=2$ 的点电荷(场源电荷)，相距为 $d=2r=2$ ，则其连线中点处产生的电场和电势分别为

解答：图略：以 $Q_1$ 指向 $Q_2$ 方向为正，

$E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_1}{r^2}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_2}{r^2}=\frac{-1}{4 \pi \varepsilon_0 } $ 方向： $Q _ 2 $ 指向 $Q_1$

$\varphi =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_1}{r}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_2}{r} =\frac{3}{8 \pi \varepsilon_0 }$

电量分别为 $Q_{1}=Q_{2}=1$ 和 $Q_{3}=Q_{4}=-1$ 的四个点电荷，分别位于正方形(边长 $d=\sqrt{2}$ )的四个顶点上。则其中心点处产生的电场和电势分别为

提示： $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_1}{r^2}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_2}{r^2}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_3}{r^2}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_4}{r^2}=\frac{\sqrt{2}}{4 \pi \varepsilon_0 }$

$\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } +\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=0$
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电量分别为 $Q_{1}=Q_{3}=1$ 和 $Q_{2}=Q_{4}=-1$ 的四个点电荷，分别位于正方形(边长 $d=\sqrt{2}$ )的四个顶点上。则其中心点处产生的电场和电势分别为

解答： $E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_1}{r^2}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_2}{r^2}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q_3}{r^2}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }\cdot \frac{Q_4}{r^2}=0$

$\varphi =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 }=0$
IMG_20190330_214329.jpg

一个电量为 $dq$ 的点电荷，在距离它为 $r$ 的场点产生的电场和电势为

解答： $E= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{dq}{r^2}$

$E= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{dq}{r}$

均匀带电的圆细环( $Q,R$ )在环心O处的场强和电势分别为()

解答：由对称知： $E=0$

$\varphi =\int_0^{2 \pi R} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{dq}{R}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Q}{R}$

物理强调建模。如图，求均匀带电的细棒在场点P处的电场和电势，微元取为位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，则微元公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为

解答： $dq=\frac{Q}{L} dx$ $r=\frac{L}{2 \sin \theta}$
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如图，求均匀带电的半圆细环在场点O处的电场和电势，经常把微元取为位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段，则公式中的 $dq$ 为

解答：图略

$dq=\frac{Q}{\pi}d \theta$

积分法求场强，经常需要定性分析合场强的方向。如图，均匀“带负电”的细棒在场点 $M$ 点和 $N$ 点的电场方向分别为

解答：由M、N点指向细棒的几何中心。

如图，均匀带异号电的半圆细环在圆心O点的电场方向为

解答：由圆心指向带负点的半圆环的几何中心。

细棒或细环带电体求电场 $\vec{E}$ 的思路是：

(a)考虑带电体的对称性，分析出合场的方向，记为 $\vec{e}$ ；
(b)取合适的电荷微元 $dq$ ，找到该微元到场点的距离 $r$ ；
(c) 借助点电荷公式，写出微元在场点产生的电场大小 $dE$ ，进而写出 $dE$ 在合场方向 $\vec{e}$ 上的投影 $dE_{x}=dE\cdot\cos\theta$ 。
(d)计算定积分。
现在求均匀带电的细棒( $Q,L$ )在场点P处的电场，让我们按照以上四个步骤研究该问题。
第一步，定性分析出该场点合场强的方向，可能的结果为
(1) $\vec{e}_{x}$
(2) $\vec{e}_{y}$
第二步以中点为原点建立坐标轴。微元取为位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，则公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为
(3) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ ， $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$
(4) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ ， $r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}$
第三步分析该微元的场强 $dE$ ，以及 $dE$ 在合场方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的结果为
(5) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(6) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
第四步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法
(7) $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(8) $\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
则正确的方程组是( )

解答：(1)、(3)、(6)、(8)

现在求均匀带电的半圆细环( $Q,R$ )在环心O处的电场，让我们按照以上四个步骤研究该问题。
第一步，定性分析出该场点合场强的方向，可能的结果为

解答： $\vec{e_x}$

第二步，微元取为位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圆弧，则公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为

解答： $dq=\frac{Q}{\pi}d\theta$ $r=R$

第三步分析该微元的场强 $dE$ ，以及 $dE$ 在合场方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的结果为

解答： $dE= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Qd \theta}{\pi R^2}\cos \theta$

第四步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法

解答： $E=\int _0^\pi \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{Qd \theta}{\pi R^2}\cos \theta$

细棒或细环带电体求电势 $V$ 的思路更简单，因为电势是标量叠加原理。其基本思路是，
(a)取合适的电荷微元 $dq$ ，找到该微元到场点的距离 $r$ ，
(b)借助点电荷公式，写出微元在场点产生的电势 $dV$ ，
(c)计算定积分。
现在求均匀带电的半圆细环( $Q,R$ )在环心O处的电势
第一步，微元取为位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圆弧。则公式中的 $dq$ 和 $r$ 分别为
(1) $dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
(2) $dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta$ ， $r=R$
第二步写出该微元在该点的电势 $dV$ ，可能的结果为
(3) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(4) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta$
第三步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分，有如下列法
(5) $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(6) $\int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta$
则正确的方程组是( )

解答：(1)、(3)、(5)

细棒或细环带电体求电势 $V$ 的思路更简单，因为电势是标量叠加原理。现在求均匀带电的细棒( $Q,L$ )在中心 $O$ 处的电势。
第一步，微元取为位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段圆弧，则 $dq$ 和 $r$ 分别为

解答： $dq=\frac{Q}{L}dx $ $r=\sqrt{{\frac{L}{2}}^2+h^2}$

第二步写出该微元在该点的电势 $dV$ ，

解答： $dV= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \cdot \frac{dq}{\sqrt{{\frac{L}{2}}^2+h^2}}$

第三步，把第二步的结果代入第三步的积分表达式中，计算定积分

解答： $V=\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{L \sqrt{{\frac{L}{2}}^2+h^2}}dx =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{Q}{\sqrt{{\frac{L}{2}}^2+h^2}}$

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细棒或细环带电体求电场 $\vec{E}$ 的思路是：

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