欧氏空间与投影空间

我们平时接触最多的就是欧氏空间（或笛卡尔坐标系），在欧氏空间中两条平行直线永远不会相交，但是在投影空间中，两条平行直线或平行平面会在无穷远处相交。

在笛卡尔坐标系中，无限远处的点必须用 (∞,∞)来表示，但是这种表示方法在欧氏空间里是难以做更多分析甚至是没有意义的。并且投影空间中两个平行线或平行面相交，在欧氏空间中也是无法表示的，因此数学家引入了齐次坐标这个概念。

齐次坐标定义

先举几个例子：

若一个点在笛卡尔坐标系中的坐标是（3,5），那么转换到齐次坐标则为（3,5,1），这种情况看起来似乎笛卡尔坐标比齐次坐标更简洁方便；可是我们来看另一种情形，而无穷远处点在笛卡尔坐标必须表示为(∞,∞），而用齐次坐标则可以表示为（3,5,0），这样，齐次坐标看起来就比笛卡尔坐标好看多了~

现在来看齐次坐标的解释：

齐次坐标（Homogeneous coordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。在笛卡尔坐标系中的点(X, Y)的基础上，加上一个分量w，变为(x, y, w)，其中，X = x/w，Y = y/w ，因此就可以解释上述第二个例子为什么可以用（3,5,0）来表示无穷远处的点了。

齐次坐标的缩放不变性

齐次坐标与笛卡尔坐标的数学关系：

然后大家观察下面几个式子：

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是不是很有趣！！

将某个齐次坐标乘以某个数，所表示的点在笛卡尔坐标系中为同一点，这个性质就是齐次坐标的缩放不变性（scale invariant）。

两个平行平面在无穷远处相交

先假设两个平行平面在笛卡尔坐标系中表示为：

转化到齐次坐标系下：

当E≠F的时候，表示两个不重合的平行平面。则联立这两个方程可以得到解：

也就是说，在齐次坐标系中，两个平行平面在无穷远处相交。

齐次坐标系下的点与向量

我们知道，在笛卡尔坐标系中，向量和点的表达方式几乎没有区别，向量可以看成点的位置相对原点 o 所进行的一个位移，而向量具有平移不变性。

在齐次坐标系下就不同了~

我们将点和向量在笛卡尔坐标系和齐次坐标系之间进行转换：

笛卡尔坐标→齐次坐标：

如果（x,y,z）是向量，那么齐次坐标为（x,y,z,0）

如果（x,y,z）是 3D 点，那么齐次坐标为 （x,y,z,1）

齐次坐标→笛卡尔坐标：

如果 （x,y,z,1）(3D点)，在普通坐标系下为（x,y,z）

如果 （x,y,z,0）(向量)，在普通坐标系下为（x,y,z）

参考：https://blog.csdn.net/Hansry/article/details/79491908