随机变量及其基本概念、各种分布

随机变量和随机事件的区别

• 随机事件是样本点的集合
• 随机变量是将每个样本点映射成了一个唯一确定的数，广义上讲是随机现象各种可能结果的变量。

离散型随机变量

• 随机变量的值是有限多个，或者是无限可数个。
• 无限可数： 能和自然数集一一对应的集合，虽然数目无限，但是每一个特定的元素都对应一个自然数。
• 离散型随机变量要满足两个条件，设随机变量X可能取值为a₁.....a_n（1）P(X=a_i) >=0；（2）P(X=a₁) + .....+ P(X=a_n)=1

重复独立实验

• 每次实验彼此独立
• 每个事件的P在每次实验中不变
• 伯努利实验：只有两种结果的重复独立实验

两点分布

只进行一次伯努利实验，结果只有两种，也叫伯努利分布

二项分布

• n次伯努利实验，A发生的概率为p，计算A出现k次的概率，(k=0,1,....k,....n)。
• A出现k次的概率记为B(k,n,p)，其中k代表k次，n代表总共进行n次实验，p代表每次实验A发生的概率。同时，每次实验A不发生的概率为q。
• B(k,n,p)=(C_n^k)p^kq^n-k
• B(0,n,p)+B(1,n,p)+....+B(k,n,p)+...+B(n,n,p) = (C_n⁰)p⁰qⁿ +.....+ (C_nⁿ)pⁿq^n-n = (p+q)ⁿ = 1.
  这个式子中间两步的转化是依据二项式定理，因此称这种分布为二项分布。
• 二项式定理：
• 二项分布，n=100，p=0.9时，B(k,100,0.9)随着k的变化曲线：
• n和p固定，B(k,n,p)的最大值称为当前n和p的中心项，取最大值时的k称为最可能成功次数。
  例题： 射击，500发子弹，每发子弹命中目标的概率是0.01，求最可能命中目标多少次。
  典型的二项分布，求的是n=500，q=0.01时的曲线最高点。

泊松分布

• X=k时，满足概率P(X=k) = (λ^k / k!)e^-k形式的分布为泊松分布。
• 分布律 （λ > 0）

X	0	1	...	k	...	n
P(X)	(λ0 / 0!)e-0	(λ1 / 1!)e-1	...	(λk / k!)e-k	...	(λn / n!)e-n

• 泊松分布逼近二项分布：在n次伯努利实验中，P表示每次实验A出现的概率，若n×p→λ，则n→∞时，则B(k,n,p)→(λ^k / k!)e^-k。这里要求n远大于p，这样n×p的结果大小始终。
• 泊松分布和二项分布的X的取值都是可数的，具体来说分为两种情况：（1）有限个（一定可数）；（2）无限可数。

分布函数

• 连续函数不能使用分布律，因为点的个数不可数，而且连续函数在某个点概率为0。
• X是一个随机变量，x是任意实数，F(x)=P{X ≤ x} 为X的分布函数。
• 性质：（1）F(x)单调不减；（2）0 ≤ F(x) ≤ 0，F(-∞)=0，F(∞)=1；（3）F(x+0)=F(x) ，即右连续，F(x+0)代表在x这个点F(x)的右极限，左极限为F(x-0)。

连续型随机变量

• 随机变量X的分布函数为F(X)，如果存在非负函数f(x)，使

  则称X为连续型随机变量。

• 对于∀x，P(X=x)=0。在[0,1]区间内，取到任意一个点的概率为0，只有取到某个范围才有具体的概率。
• 改变概率密度函数在有限个点处的值不会影响分布函数的取值。

约定：提到概率分布时，离散型对应分布律，连续型对应概率密度

均匀分布

• 均匀：等可能性
• 密度函数如下的分布为均匀分布。

• 分布函数

  
  

指数分布

• 密度函数
• 分布函数
• 无记忆性：P{X > s + t | X > s} = P{ X > t }
  指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量分布。

几何分布

正态分布

• 密度函数：
• 图像：

  在x=μ处，密度函数f(x)取得最大值。

• μ=0，σ=1时，X~N(0,1)，此时正态分布为标准正态分布，记为φ(x)，分布函数Φ(x)。
• 令X~N(μ,φ)，令Y=(X-μ)/σ ，P(X≤Y)=Φ(X)，可见Y~N(0,1)。
• Φ(-x) = 1 - Φ(x)
• 3σ法则：P{ μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ } = 0.9973.
• 分位点：求P{X ≥ α}，则称α为上α分位点。因为这个概率求的是≥ α后的图像面积。

随机变量的函数的分布