函数、极限、连续知识数据库

这里仅给出中文，对应的数学语言将在附表中给出。

数列极限定义、性质、判别法

1 定义数列的极限

1.1 定义无穷小数列与无穷大数列

1.1.1 无穷小数列的性质

1.1.1.1

1.1.1.2

1.1.1.3 无穷小数列×有界数列＝无穷小数列

1.2 定义发散数列

1.3 定义数列的子列

2 收敛数列的性质

2.1 唯一性

2.2 有界性(这里有先定义有界数列)

2.3 保不等式性(1)

2.4 保不等式性(2)

2.5 保号性

2.6 四则运算法则

3 数列收敛的判别法

3.1 迫敛性定理

3.2 单调有界定理(定义单调数列)

3.3 柯西收敛准则与否定形式(致密性定理)

函数极限定义、性质、判别法

1.1 定义x趋于＋∞时的函数极限、定义x趋于－∞时的函数极限、x趋于∞时的函数极限、三种极限的关系

1.2 定义x趋于x0时函数极限、定义x趋于x0＋时函数右极限、定义x趋于x0＋时函数左极限、三种函数极限的关系

1.3 定义无穷大量、无穷小量、有界量

1.3.1 无穷大量与无穷小量的关系

1.3.2 无穷小量的性质

1.3.3 无穷小量的比较

1.3.3.1 高阶无穷小量

1.3.3.2 同阶无穷小量

1.3.3.3 等价无穷小量

2 函数极限的性质

2.1 唯一性

2.2 局部有界性

2.3 保不等式性(1)

2.4 局部保号性

2.5 四则运算法则

2.6 复合函数的极限

3 函数极限存在的判别法

3.1 迫敛性定理

3.2 归结原则Heine定理

3.3 函数的单调有界定理

3.4 柯西准则

4 定义函数在一点x0连续、函数在点x0右连续、函数在点x0左连续、三者之间的关系

4.1 定义函数在开区间内连续、闭区间内连续

4.2 定义函数的间断点

4.2.1 可去间断点

4.2.2 跳跃间断点

4.2.3 第二类间断点

5 连续函数的局部性质

5.1 局部有界性

5.2 保不等式性

5.3 局部保号性

5.4 四则运算法则

5.5 复合函数的连续性

5.6 初等函数的连续性

5.7 反函数的连续性

6 连续函数的整体性质

6.1 有界性定理

6.2 最值定理

6.3 零点定理

6.4 介值定理

6.5 一致连续性定理

6.5.1 定义一致连续性

6.5.2 一致连续的性质

6.5.2.1

6.5.2.2

以上工作给出的是数列极限的定义、性质、判别定理以及函数极限的定义、性质、判别定理。紧接着给出函数连续的定义、间断点的类别。以及连续函数的局部性质、整体性质。参考的主要是华南师范大学的教材数学分析(一)。

其实从数列极限定义出发，每一环都紧紧相扣。上述的知识体系还只是分裂开的，没有给出其中的联系。也就是证明。有些证明仅利用了前面的工作，而有些性质则是巧妙地结合了涉及到的多方面的数学知识，比如绝对值不等式的知识，三角函数的知识等等。

接下来的工作，还是要解决掉里面的联系问题。不仅需要到知识的数据库，还需要知道知识之间，它们内部是怎样巧妙联系解决问题的。而且我们会发现，证明同一个性质或定理，会用到不止一种方法。这个方法里会包含其他的性质、定理或公式。这是一项基础工作。

最重要的一项工作是是找到对应的考研题型。比如求函数极限。先给出一套解题论。然后用真题去检验。抽出题里面的共性。剥出题的个性。以来巩固和完善这套解题论。后续的学习中涉及到极限都将回到此处再次领悟极限这个概念。