《微分方程与动力系统（Differential Equation

2023-11-22 本文已影响0人韧心222

为了深入理解fMRI分析的原理，还是要学习一些微分方程与动力系统的东东，这是我的学习笔记，内容还没有很好的整理。

视频在这里1-Differential Equations and Dynamical Systems Overview_哔哩哔哩_bilibili

课程的原始地址在这里：ME 564 - Mechanical Engineering Analysis (washington.edu)

11. 12. 高阶ODE

此章节将会构造一个高阶的ODE，其模型如图所示：

image.png

根据 $F=ma$ ，则可以列出如下方程：

$\begin{align} m_1\ddot x_1 + k_1x_1 + k_2(x_1-x_2) =& 0 \\ m_2\ddot x_2 + k_2(x_2-x_1)=&0 \end{align}$

上述公式可以写为两种形式：

【形式1】
$\begin{bmatrix} \dot x_1 \\ \dot v_1 \\ \dot x_2 \\ \dot v_2 \\ \end{bmatrix}= A \begin{bmatrix} x_1 \\ v_1 \\ x_2 \\ v_2 \\ \end{bmatrix}$

【形式2】4阶ODE
$\begin{align} x_2 =& \frac{1}{k_2}m_1 \ddot x_1+\frac{k_1}{k_2}x1+x_1 \\ \ddot x_2 =& \frac{m_1}{k_2} x_1^{(4)}+\frac{k_1}{k_2}\dddot x_1 + \ddot x_1 \end{align}$

所以最终的4阶ODE为：
$\frac{m_2m_1}{k_2}x_1^{(4)}+\frac{m_2}{k_2}\dddot x_1+(m_1+m_2)\ddot x_1+k_1\dot x+0\cdot x_1 = 0$

对于一般形式的高阶ODE方程：
$a_nx^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+...+a_2\ddot x+a_1 \dot x+a_0 x = 0$

其一般性解法，可以参考之前的做法
$\begin{align} x(t)=&e^{\lambda t}\\ \dot x =& \lambda e^{\lambda t} \\ ... \\ x^{(n)} =& \lambda^ne^{\lambda t}\\ \end{align}$
因此：
$e^{\lambda t}(a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0) = 0$
特征方程为
$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+...a_2\lambda^2+a_1\lambda+a_0=0$
该方程有n个根，分别为 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ ，则 $x(t)$ 的一般解为：
$x(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+...+c_ne^{\lambda_nt}$
之后，可以利用状态的初始值，来确定 $c$ 的取值。

13. 微分方程的矩阵系统

这节课程的目的是要将前面介绍的高阶线性ODE变为一阶的矩阵形式（由n个耦合变量构成的1阶ODEs）。

为了解决这个问题，需要引入一些新的变量，令
$\begin{align} x_1 =& x \\ x_2 =& \dot x \\ x_3 =& \ddot x \\ ...\\ x_n =& x^{(n-1 )} \\ \end{align}$
则，
$\dot x_n = x^{(n)}=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n$
所以：
$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ... \\ x_{n-1} \\ x_{n} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 &0 \\ 0 & 0 &1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 &0 & \cdots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 &-a_2 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ ... \\ x_{n-1} \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}$

可以简写为：
$\underline{\dot x} = A\underline{x}$

可以证明A的特征值就是特征多项式的根

14. 特征值和特征向量

14.1 解耦的微分动力学

首先看一个简单的例子，一个解耦的微分动力学方程（Decoupled Dynamics）的示例：假设在一个足够大的动物园中又若干动物，每个种类的动物都关在自己的笼子里，彼此之间不会发生捕食等动作，在食物充足的情况下，其种群数量的应该满足如下方程：
$\frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \\ \end{bmatrix}$

记 $D$ 为对角线矩阵：
$D= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix}$
则：
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \\ \end{bmatrix}(t) = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1t} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2t} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_nt} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots\\ x_n \\ \end{bmatrix}(0)$
其中，
$e^{Dt} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1t} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2t} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_nt} \\ \end{bmatrix}$

14.2 一般系统的动力学

对于我们之前使用的更一般的系统
$\underline{\dot x}=A\underline{x}$
我们需要一个可逆的空间变换 $\underline{x}=T\underline{z}$ ，使得新空间的微分方程呈现出对角线形式，即 $\underline{ \dot z}=D\underline{z}$

$\begin{align} T\dot z = \dot x = A x \Rightarrow & T\dot z = ATz \\ \Rightarrow && \dot z = T^{-1}ATz \end{align}$

此时问题变为我们需要寻找的一个可逆矩阵T，使得 $T^{-1}AT$ 为一个对角矩阵 $D$ ，即：
$T^{-1}AT=D$
为了解决这个问题，不妨对上式进行一个变换，得到：
$AT=TD$
$T$ 的每一列和 $D$ 的对角线元素分别表示矩阵 $A$ 的特征向量和特征值。如果不理解的话，我们不妨对其进行简单的展开：

$A \begin{bmatrix} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \\ \end{bmatrix}$
可见
$At_k = \lambda_kt_k$
从而证实了我们之前的说法。

15. 特征向量与特征值

15.1 行列式的几何意义

一个矩阵 $A$ 的行列式，表示一个单位方块通过矩阵 $A$ 进行空间变换，得到的新图形的容量，

image.png

如图所示，在二维空间中，单位方框的顶点分别为 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ ，通过矩阵
$A= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\\ \end{bmatrix}$
变换后，得到的顶点分别为 $(0, 0), (1, 2), (2, 1), (3,3)$ ，则新图形的面积等于 $A$ 的行列式
$det(A)=Area = 3$
因此，在二维空间上，如果一个矩阵的行列式等于0，则相当于它把单位向量映射到了同一个方向上。

对于更高的维度而言， $det(A)=0$ 相当于通过矩阵 $A$ 的变换，单位方块在某个维度上被压缩了

15.2 特征向量

对于矩阵 $A$ ，其特征值和特征向量的计算方法为求解如下方程的根：
$det(A-\lambda I)=0$

16. 求解

通过前面的讲解，我们知道了：
$\begin{align} \underline{\dot x} = Ax \Rightarrow& \underline{x} (t)= e^{At}\underline{x}(0) \\ \underline{x}=T\underline{z} \Rightarrow & \underline{\dot z}=D\underline{z} \\ & \underline{z}(t)=e^{Dt}\underline{z}(0) \end{align}$
但是 $e^{At}$ 的计算方法还不知道，这节课主要就是来解决这个问题：

首先，我们知道
$\begin{align} \because &A=TDT^{-1} \\ \therefore & A^2 = (TDT^{-1}) (TDT^{-1}) = TD^2T^{-1} \\ & A^3 = TD^3T^{-1} \\ & \vdots \\ & A^n = TD^nT^{-1} \\ \end{align}$
因此，对 $e^{At}$ 进行泰勒展开可得：

$\begin{align} e^{At} =& I+At+\frac{A^{2}t^2}{2!}+\frac{A^{3}t^3}{3!}+\cdots \\ =&TT^{-1}+TDT^{-1}t+TD^2T^{-1}\frac{t^2}{2!} +TD^3T^{-1}\frac{t^3}{3!} +\cdots \\ =&T[I+Dt+\frac{D^{2}t^2}{2!}+\frac{D^{3}t^3}{3!}+\cdots]T^{-1} \\ =&Te^{Dt}T^{-1} \end{align}$

其中，
$e^{Dt} = \begin{bmatrix} e^{\lambda_1t} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2t} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_nt} \\ \end{bmatrix}$

则
$\underline{x}(t) = Te^{Dt}T^{-1}\underline{x}(0) = Te^{Dt}\underline{z}(0)=T\underline{z}(t)$