刚体运动学（5）：欧拉刚性运动定理

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$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 本征值问题和久期方程

$\bullet$ 在任意时刻，刚体的方向可由正交变换来表示。时间的演进会导致刚体方向的变化，所以它的变换矩阵该是一个随时间变化的函数 $\rm{R}(t)$ ，由于刚体的实际转动是连续的，所以 $\rm{R}(t)$ 也必须是一个连续的函数。在初始时刻 $t = 0$ ，可将刚体局部参考系原点选择与全局参考系原点重合，则有 $\rm{R}(0) = \rm{I}$ 。

$\bullet$ 欧拉刚体运动定理（Euler’s theorem on the motion of a rigid body）描述了刚体运动的重要特征，它指出，

对于基点固定的刚体（不考虑平动），它的一般运动都可以分解为绕某个转轴的转动。

由于转轴不会因为刚体转动而发生改变，任何矢量在沿转轴方向的分量在转动前后都将保持不变。因此，如果能证明存在某矢量 $\mathbf{G}$ ，它沿转轴的分量在变换前后两个参考系内均不变，即

$\mathbf{G}^{\prime} = \rm{R}\mathbf{G} = \mathbf{G}\\$

而

$\mathbf{G}^{\prime} = \rm{R}\mathbf{G} = \lambda\mathbf{G}\\$

于是，

$\lambda = +1\\$

欧拉定理的等价阐述：

对于一个基点固定的刚体，用来表示其实际运动的实正交矩阵必须至少含有一个等于 $+1$ 的本征值

因此，需要首先解决本征值问题，本征方程可以写为

$\begin{align*} \mathbf{G}\rm{R} &= \lambda\rm{I}\mathbf{G}\\(\rm{R} - \lambda \rm{I})\mathbf{G} &= \mathbf{0}\end{align*}\\$

或者写成展开式

$\begin{bmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda\end{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y \\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0 \end{pmatrix}\\$

$\begin{align*}(a_{11} - \lambda ) x + a_{12}y + a_{13}z = 0\\a_{21}x + (a_{22} - \lambda)y + a_{23}z = 0\\a_{31}x + a_{32}y + (a_{33} - \lambda)z = 0\end{align*}\\$

满足本征方程的本征空间也是矩阵 $\rm{R} - \lambda \rm{I}$ 的零空间。若存在解，根据维度定理，零空间非空，那么矩阵 $\rm{R} - \lambda \rm{I}$ 的秩必定小于维度数，即列空间必定呈线性依赖，所以行列式

$|\rm{R} - \lambda \rm{I}| = \mathbf{0}\\$

$\begin{vmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} - \lambda\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\$

被称为矩阵的特征方程（characteristic equation）或久期方程（secular equation）。

如同上述的久期方程通常有 $3$ 个根，即三个本征值，对应 $3$ 个本征矢量。

所以欧拉定理要求，正交矩阵久期方程的解必须含有根 $\lambda = +1$ 。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 记号

$\bullet$ 将矢量的三个分量 $x,y,z$ 记为 $x_1,x_2,x_3$

$\bullet$ 对于本征矢，将分量记为 $x_{ik}$ ，指标 $i$ 表示特定方向的分量， $k$ 表示与之唯一对应的本征值

使用上述记号，本征方程可被写成

$\sum_j a_{ij}x_{jk} = \lambda_{k}x_{ik}\\$

（注意：等式右侧不触发求和约定，出现加和的地方已用加和符号表示）

或者

$\sum_j a_{ij}x_{jk} = \sum_j x_{ij}\delta_{jk} \lambda_k \\$

用矩阵表示

$\rm{R}\mathrm{G} = \mathrm{G} \boldsymbol{\lambda}\\$

$\implies \boldsymbol{\lambda} = \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\$

其中 $\boldsymbol{\lambda}$ 是一个对角方阵， $\rm{G}$ 是一个方阵，方阵中的每一列都是一个本征矢，变换矩阵 $\rm{R}$ 的对角化矩阵 $\boldsymbol{\lambda}$ 中每一个对角矩阵元则是相应的本征值。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I}.}$ 欧拉定理证明

已知关系式

$(\rm{R} - \rm{I})\rm{R}^{t} = \rm{I} - \rm{R}^{t}\\$

对等式两边求行列式

$|\rm{R} - \rm{I}| \cdot |\rm{R}^t| = |\rm{I} - \rm{R}^t| \\$

因为转动矩阵 $\rm{R}$ 属于常规变换

$|\rm{R}^t| = |\rm{R}| = 1\\$

所以

$|\rm{R} - \rm{I}| = |\rm{I} - \rm{R}|\\$

令 $\rm{A} = \rm{R} - \rm{I}$ ，上述关系表明，矩阵 $\rm{A}$ 的行列式与其负矩阵的行列式相等，即

$|\rm{A}| = |-\rm{A}|\\$

如果矩阵 $\rm{A}$ 是一个 $n \times n$ 方阵，根据行列式特性

$|\rm{A}| = (-1)^n|\rm{A}|\\$

$\bullet$ 对于任何奇数维度，如 $n = 3$

$|\rm{A}| = -|\rm{A}|\\$ $\implies |\rm{A}| = |\rm{R} - \rm{I}| = 0\\$

所以三维空间的转动矩阵 $\rm{R}$ 必然至少有一个本征值是等于 $+1$ 的

$\bullet$ 对于任何偶数维度，如 $n = 2$

$|\rm{A}| = (-1)^2|\rm{A}| = |\rm{A}|\\$

将无法得到 $\lambda = +1$ 的结论，故欧拉定理失效。

所以，二维平面内不存在欧拉定理。因为当坐标系转动时，任何位于平面内的矢量均会发生改变，唯有沿转轴的矢量不发生改变，但此时它与平面垂直，并不在平面内。

$\mathrm{\mathbf{V\!I.}}$ 本征值的特点

对于转动矩阵 $\rm{R}$

$\begin{align*}\rm{R}^{\prime} &= \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\\rm{G}\rm{R}^{\prime} &= \rm{G}\rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}\\ \end{align*} \\$

对等式两边求行列式

$|\rm{G}|\cdot |\rm{R}^{\prime}| = |\rm{R}| \cdot |\rm{G}|\\$

$\implies |\rm{R}^{\prime}| = |\rm{R}| \\$

可见，其行列式不会因为相似变换（similarity transformation）而改变。

于是，

$|\rm{R}^{\prime}| = |\rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G}| = |\boldsymbol{\lambda}| = \lambda_1\lambda_2\lambda_3 = |\rm{R}|\\$

根据欧拉定理，已知其中一个本征值必须为 $+1$ 。

令 $\lambda_3 = +1$ ，则有

$|\rm{R}| = \lambda_1\lambda_2 = +1\\$

剩余两个本征值的乘积等于一

$\bullet$ 因为 $\rm{R}$ 是个实矩阵，久期方程的任何复数根都将以成对的方式出现。所以，如果 $\lambda$ 是满足久期方程的一个根，它的复共轭 $\lambda^{\ast}$ 也将同样满足方程。

$\bullet$ 如果本征值 $\lambda_i$ 是一个复数，那么其对应的本征矢量同样将是一个复矢量。

复矢量的长度可以记为

$\mathbf{r}^2 = \mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}^{\ast} = \mathbf{r}^t\mathbf{r^{\ast}}\\$

我们知道，一个矢量的长度在正交变换下是一个不变量

$\begin{align*}(\mathbf{r}^{\prime})^t(\mathbf{r}^{\prime})^{\ast} &= (\rm{R}\mathbf{r})^t(\rm{R}\mathbf{r})^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t\rm{R}^t\rm{R}\mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t\rm{R}^{-1}\rm{R}\mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^{t}\mathbf{r}^{\ast}\end{align*}\\$

此时，若 $\mathbf{r}$ 是一个属于转动矩阵 $\rm{R}$ 的复本征值 $\lambda$ 的本征矢，则有

$\rm{R}\mathbf{r} = \lambda\mathbf{r}\\$

于是

$\begin{align*} (\mathbf{r} ^{\prime})^t(\mathbf{r}^{\prime})^{\ast} &= (\rm{R}\mathbf{r})^t(\rm{R}\mathbf{r})^{\ast}\\&= \lambda\lambda^{\ast} \mathbf{r}^t \mathbf{r}^{\ast}\\&= \mathbf{r}^t \mathbf{r}^{\ast}\end{align*} \\$

$\implies \lambda\lambda^{\ast} = 1\\$

可见，转动矩阵 $\rm{R}$ 的所有本征值均具有单位长度。

由此，可以得出矩阵 $\rm{R}$ 本征值的所有可能的分布情况：

（1）所有本征值均为实数 $+1$ ，于是 $\rm{R}^{\prime} = \rm{G}^{-1}\rm{R}\rm{G} =\boldsymbol{\lambda} = \rm{I} = \rm{R}(0)$ ，刚体将保持零时刻的方向，最平凡的情况。

（2）一个本征值为实数 $+1$ ，另外两个均为实数 $-1$ 。该情况对应的转动变换是两个坐标的反演，最后一个坐标则保持不变。它是刚体关于保持不变的那条坐标轴的 $\pi$ 弧度转动。

（3）一个本征值为实数 $+1$ ，另外两个为一组共轭复数，具有形式： $e^{i\Phi}$ ， $e^{-i\Phi}$ 。

所以，欧拉定理的更完整陈述为：

任何常规非平凡实正交矩阵有且仅有一个等于 $+1$ 的本征值。

$\rm{\mathbf{V.}}$ 转角的计算

$\bullet$ 刚体转轴的方向余弦可通过将 $\lambda = +1$ 代入本征方程然后求本征矢得到。

$\bullet$ 使用相似变换，可以寻找到一组新的正交基，使得刚体的转轴与 $z$ -轴重合，这样一来，得到的转动矩阵

$\rm{R}^ {\prime} = \begin{bmatrix}\cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

它的迹（Trace）

$\rm{Tr}(R^{\prime}) = 1 + 2\cos\Phi\\$

由于转动矩阵的迹在相似变化下是个不变量，可以得到转动角度 $\Phi$ 与初始转动矩阵的 $\rm{R}$ 对角矩阵元的关系式

$\rm{Tr}(R) = a_{ii} = 1 + 2\cos\Phi\\$

$\implies \boxed{\Phi = \cos^{-1}\frac{a_{ii} - 1} {2}}\\$

$\bullet$ 若所有本征值 $\lambda_i$ 均为 $+1$ ， $\Phi = 0$

$\bullet$ 若 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1, \lambda_3 = +1$ ， $\Phi = \pi$

$\bullet$ 若 $\rm{R}$ 含有复本征值，

$\rm{Tr}(R) = \sum_i \lambda_i = 1 + e^{i\Phi} + e^{-i\Phi} = 1 + 2\cos\Phi\\$

可见，实数本征值所对应的不过是复数本征值的一种特殊情况。

$\bullet$ 使用本征值得到的角度并没有规定方向。为了避免歧义，我们习惯使用右手螺旋定则，并将逆时针角度 $\Phi$ 与变换 $\rm{R}$ 对应，将顺时针角度 $-\Phi$ 与逆变换 $\rm{R}^{-1}$ 对应。

$\rm{\mathbf{V\!I.}}$ 沙勒定理

沙勒定理是欧拉定理的推论，它指出，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。所以，刚体的运动可分为平移运动与旋转运动。刚体的现在位置与现在取向可以视为是从某个初始位置与初始取向经过平移与旋转而成。

沙勒其实还证明了一个更广义的版本：既非旋转又非平移的空间第一种合同变换（congruent transformation）(旋转，平移，反射等)是一个螺旋运动。通俗点来讲就是，我们总是可以选择一个局部坐标系，使得刚体沿着转轴方向平动。

刚体运动学（5）：欧拉刚性运动定理

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 本征值问题和久期方程

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 记号

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I}.}$ 欧拉定理证明

$\mathrm{\mathbf{V\!I.}}$ 本征值的特点

$\rm{\mathbf{V.}}$ 转角的计算

$\rm{\mathbf{V\!I.}}$ 沙勒定理

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