正态总体抽样分布结论证明

设正态总体X~N(μ,σ²)，X1,X2,...Xn是来自正态总体的样本，样本均值为€X，样本方差为S²，则有以下结论，

注：样本均值(X拔)符号表示:€X，卡方分布符号表示：£²(n)；其它符号表示不变。

其中€X=(1/n)∑:(i=1~n)(Xi)

(1)，€X~N(μ,σ²/n)，

即(€X-μ)/√(σ²/n)~N(0,1)；

(2)，{∑:(i=1~n)(Xi-μ)²/σ²}~£²(n)；

(3)，(n-1)S²/σ²=∑:(i=1~n)(Xi-€X)²/σ²，

{(n-1)S²/σ²}~£²(n-1)；

(4)，€X与S²相互独立，

T={(€X-μ)/(S/√n)}~t(n-1)。

证一、为什么(3)式的自由度是n-1？

表面上，∑:(i=1~n)(Xi-€X)²是n个正态随机变量Xi-€X的平方和，但实际上它们不都是独立的，它们之间有一种线性约束关系：∑:(i=1~n)(Xi-€X)=(∑:(i=1~n)Xi)-n€X=0，这表明当n个正态随机变量中有n-1取值给定时剩下一个的取值就跟着唯一确定了，故这n项平方和中只有n-1项是独立的，所以(3)式的自由度为n-1。

证二、(4)式是怎么来的？

€X与S²相互独立就不证了，由(1)式和(3)式可知，(€X-μ)/√(σ²/n)~N(0,1)，{(n-1)S²/σ²}~£²(n-1)，由t分布定义得，[(€X-μ)/√(σ²/n)]/√{[(n-1)S²/σ²]/(n-1)}=T={(€X-μ)/(S/√n)}~t(n-1)，从而得证。

已经申查一遍，若文中仍有文字,符号等错误可以评论指出，后期修改。