面试题14- I. 剪绳子

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m] 。请问 k[0]k[1]...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 58

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof
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解法

直接的动态规划，需要推导的贪心算法。

动态规划

因为每一个长的绳子，都可以考虑切一刀切在哪，然后剩下的两根绳子该怎么切，完美符合动态规划的要求。做一个表，分别记录绳子长度为2...n的最大乘积。f(n) = max(f(i)*f(n-i)) i就是切的位置。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n == 1:
            return 1
        if n == 2:
            return 1
        if n == 3:
            return 2
        p = [0]*(n+1)
        p[0] = 0
        p[1] = 1
        p[2] = 2
        p[3] = 3


        for i in range(4,n+1):
            max = -1
            for j in range(1,i//2+1):
                t = p[j]*(p[i-j])
                if max < t:
                    max = t
            p[i] = max
        return p[n]

贪心算法

疯狂剪3m的绳子，如果最后剩下一米的话，那就是剪错了，退一步少剪一刀凑个四米。
理论证明：
在n>=5时，有3(n-3)>n。也就是说，在绳子剩余5米以上时，剪一截3m的绳子下来肯定比不剪要好。
同理可证，在相同条件下剪3m也不会比剪1m和2m差。（3(n-3)>=2(n-2)和1(n-1)>1n）
总结就是在绳子剩下>=5m的时候疯狂剪3m就行了，最后如果剩下4m，那就不用剪了，因为4=22>13。

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n < 4:
            return n-1
        a = n//3
        b = n%3
        ans = 0
        if b == 0:
            ans =  math.pow(3,a)
        if b == 1:
            ans =  math.pow(3,a-1)*4
        if b == 2 :
            ans =  math.pow(3,a)*2
        return int(ans)

总结

还是贪心法证明思路。