数学对象是否存在？（3）

文/叶峰

实在论承认数学对象独立于我们的思想存在，反实在论则认为数学对象不存在或不独立于我们的思想存在，唯名论则断言数学对象完全不存在。这种分类法似乎是多数作者所接受的。

数学实在论与数学反实在论之间的争论，是二十世纪数学哲学中的争论的焦点。从历史渊源上说，当代的数学实在论与数学反实在论之间的争论，与西方传统哲学中的实在论与唯名论之间的争论既有联系又有区别。首先，抽象数学对象与西方传统哲学中的所谓共相或理念都有所不同。共相、理念都与一类具体事物相联系，可视为一类具体事物的代表或抽象。

比如，柏拉图设想，完美的圆真实存在，而那些物质世界中的、具体的、不完美的圆，只是完美的圆的影子。反过来我们也可以说，所谓完美的圆，是具体的、不完美的圆在某种意义上的代表或抽象。但是，如果宇宙是有限、离散的话，那么，欧氏几何中的完美的圆其实在物质世界中没有任何“影子”。类似地，那些非常大的数，也可能不是宇宙中任何真实存在着的具体事物或它们的物理量的代表或抽象。更不用说那些抽象的函数空间、拓扑空间、无穷基数乃至大基数等等，它们在物质世界中没有任何“影子”，也不是任何具体事物或其属性的直接的抽象。

它们不同于传统哲学中的共相或理念。传统哲学中的柏拉图主义、实在论与唯名论，指的是肯定或否定共相与理念的独立存在性的学说。因此，现代数学哲学中的实在论或柏拉图主义超出了传统意义上的实在论与柏拉图主义。现代数学哲学中的实在论是在断言一个完全独立于物质世界，与物质世界没有相似性的抽象数学世界的客观实在性。这是由于现代数学所具备的一些前所未有的特征，即现代数学所谈论的对象不是具体事物的简单抽象，它们看上去远远超出了物质世界中的任何具体事物，在物质世界中可以没有任何“影子”。

现代数学的特征使得实在论与反实在论之争尖锐化，也更有意义

现代数学的这一特征，使得实在论与反实在论之间的冲突显得更尖锐，使得上面提到的朴素的数学实在论与朴素的反实在论所面临的问题显得更突出。

一方面，如果一个抽象事物，如共相或理念，仅仅是一类相应的具体事物的代表，或者相应的具体事物在某种意义上的“抽象”，那么实在论者可能会说，断言抽象事物存在并不是那么不可思议。他们可能会说，我们可以通过具体事物来认识那些抽象事物，因此对抽象事物的认识论问题是可以回答的。

相反，反实在论者也可以说，我们在谈论所谓的抽象事物的时候，只不过是采纳了某种言谈方式来谈论那些相应的具体事物，而非真正地断言那些所谓的抽象事物存在。也就是说，柏拉图的那个所谓的完美的圆只是幻想，我们只是想象出这么一个完美的圆，来代表真实世界中许许多多不那么完美的圆，而我们的几何学中关于所谓的完美的圆的论断，都应该理解为关于相应的各种各样的不完美的圆的（近似的）论断。

据此反实在论者可以认为，断言共相、理念等独立于具体事物存在，这并没有什么真正的意义，也不能增加我们真正的知识，而只不过是一些哲学家的咬文嚼字的理论，是烦琐哲学。或者说，关于共相、理念是否独立于那些具体事物存在的问题，是基于对语言的错误使用而产生的问题，是庸人自扰的问题。

但是，现代数学似乎确实在谈论着那些完全独立于具体事物，与具体事物没有任何相似性的抽象数学对象，而数学被认为是提供了最可靠的知识，是科学的基础。

数学真理被认为是最可靠的真理。我们所尊敬的许多数学家、科学家们似乎都持有这种信念。这些似乎都支持实在论，而且它们显示，实在论似乎是被科学实践证实了的信念，不仅仅是某些哲学家们妄想的结果，不仅仅是基于对语言的错误理解而产生的信念。

另一方面，由于现代数学中所研究的对象，尤其是其中的无穷对象、抽象数学结构等等，远远超出了宇宙中的具体事物的简单抽象，与具体事物没有任何相似性。我们很难说我们可以通过有限的具体事物，来认识那些无穷的抽象数学对象。至少，这需要构造一个复杂的哲学理论来说明。

而且，我们也不能像回避谈论那个完美的圆（而只谈论物质世界中的不完美的圆）那样，来回避谈论实数、函数、拓扑空间等数学对象（因为物质世界中没有与它们足够相似的东西可以作为它们的替代）。

所以，现代数学的这两个特征，即它作为科学的基础这一特征，与它的研究对象的（至少表面上的）超越性，既加强了支持实在论的理由，又增加了解决实在论的认识论难题的困难。这使得我们相信，这其中有一个真正的谜，而不仅仅是一些糊涂头脑妄想出的庸人自扰的问题。

——叶峰《二十世纪数学哲学》