数学并不是科学

严格意义上说，数学并不是科学，科学仅指经验科学，包括自然科学和社会科学。在美国的大部分大学里，数学和科学是两类课程。不严格意义上讲，数学可以被称为分析科学，还包括逻辑、统计学等。

我们先看看维基百科的定义：什么是科学？什么是数学？

Science is a systematic enterprise that builds and organizes knowledge in the form of testable explanations and predictions about the universe.

Mathematics is the body of knowledge justified by deductive reasoning about abstract structures, starting from axioms and definitions.

从上述定义我们可以得到：两者的共性是，都是知识。不同是，科学的知识是和具体的宇宙万物有关，是可实验的解释和预测；而数学的知识是关于抽象事物的，通过在公理和定义的基础上通过演绎推演获得的。

抽象和具体

关于数学研究的是否是纯粹的抽象事物，在哲学上也是存疑的，比如没有任何经验的情况下，我们能不能得出5+7=12（这个算式，是康德在他的《纯粹理性批判》里提到的）？罗素和怀特海曾经尝试仅用逻辑就推导出整个算术体系，出了10卷书，1800多页，最后还是差一点。

但就目的论而言，数学的确可以和具体应用脱开，而纯粹在抽象领域展开，不需要实验，仅仅靠思维，也就是逻辑推理来进行。历史上，很多数学成果，比如无理数、虚数，甚至非欧几何，都曾经长期闲置，大家不知道怎么用。

而科学则不同，科学自诞生之日起，就和应用相关，就依赖于实验或者具体的验证。虽然科学也会使用一些抽象的概念，比如万有引力、超引力、甚至夸克这种没人见过的概念，但总体来说，科学研究的目的是要解释宇宙中具体事物的运行规律。

物理、化学、生物学、心理学、经济学，无不和具体事物挂钩。

演绎法和归纳法

数学用的是演绎法，科学研究更多的依靠归纳法，也会用到演绎法。

所谓演绎法，就是三段论，比如，所有人都会衰老，张三是人，所以张三也会衰老。这就是演绎法，演绎法的过程是不会错的 。

数学的研究方法，就是先做好公理假设（不需证明），然后一步步按照演绎法推导，即可得出确定性的知识。

但是这里有个问题，所有人都会老是怎么得到的呢？如果一个事情，可以用演绎法层层推导的话，那我们也可以层层回溯，那最初的一个假设，谁能保证其是对的呢？这就是亚里士多德提出的第一因的问题。

在数学上，这个问题通过公理来解决，所谓公理，就是不需要证明，不言自明的东西，比如两点之间直线最短。也就是说，公理本身并不是逻辑推理的产物，它是逻辑推理的起点，我们只是假设它正确而已 ，事实上它不一定正确，比如我们就现在知道了，在大尺度的宇宙范围内 ，两点间直线并不是最短的，因为空间会扭曲。

那么归纳法呢？最简单的例子就是天鹅，一只天鹅是白的，两只是，我们看到的成千上万只都是白的，那么我们就得出一个结论，所有天鹅都是白的。结果我们都知道了，后来人们在澳大利亚发现了黑天鹅。所以，归纳法是不靠谱的。

演绎法可以保证结论正确，但是它并不产生新的知识，它的正确仅仅建立在前提假设正确的基础上，而演绎法无法保证最初的那个假设是否正确。归纳法虽然不保证结果一定正确，但是它可以获得新的知识，因为你总是可以从观察中得到一个假设，比如天鹅是白的，而这件事，是无法通过演绎法推导出来的。

科学当然也会用到演绎法，不过是在次级推理的层面，回到最原始的知识，也就是第一因这个层面的话，数学和科学的分歧是巨大的，数学靠的是公理，科学靠的是归纳。

科学的研究方法，究其本质，是根据观察，提出一个假说，然后用实验、事实等来验证这个假说。假说的可信度是变化的，当支持这个假说的证据增多，我们就说其可信度增加，一旦出现反例，被被证伪了，那我们就进行修正，或者提出新的假说。历史上，以太、燃素等概念的诞生和消亡，都是这么个过程。

那么，有没有可能只用演绎法进行科学研究，那样不就是可以得到确定的知识了吗？

有没有先验知识

这个问题等同于，如果在自然界，在这些具体的事物和现象中，我们能找到确定正确的不需要证明的“公理”，那我们就可以利用演绎法进行推导，从而获得确定的知识了。

的确如此，人类历史上，很多研究就是这么做的。准确的来说，人们曾经认为 ，存在先验的知识，这些知识是先天的固化在人的大脑中的，而且是所有人都共有的，因而是确定的，从这个基础出来，就可以得到确定性的知识。

哲学的形而上学体系，几乎都是基于先验知识进行的推导，但现在已经没有人用了，只是作为历史来研究。

但是目前学术界普遍的看法是，我们有先验的能力，比如思考能力、学习语言的能力、对外部世界的感知能力，但是没有先验的知识。如果一个人从来没有看到过红色，那么他就不会知道什么是红色。如果一个人从来没有接触过人类的语言，那么他就不会学会说话和写作。

人类所有的知识，究其源泉，都来自后天的观察和感知，因而科学的第一因，只能来自归纳。

这在物理、化学上，都很容易理解，但是在有些社会科学，比如经济学上，还是有些含糊的。由于经济学研究的是具体的人类社会，因而非常难以做实验来验证，所以很多经济学研究的方法，其实是更接近演绎法的。奥地利学派更是把这种方法推到了极致，他们认为正由于无法验证，所以也只能依靠演绎法，逻辑起点必须是先验的知识，也就是“人的行动都是有目的的”，基于此，就可以层层推导出确定性的知识，也即整个经济学大厦。

为什么无法像数学一样研究科学

先验知识目前在主流科学界并不被认可，在非科学领域可以继续研究。

其实，就算有了先验知识，我们仍然无法像数学一样研究科学，我们的逻辑推导能力有边界，至少还有三个障碍：1）无法穷尽所有前提条件；2）涌现；3）计算不可约性。

1、前提条件

数学的前提条件是有限的，比如欧几里德几何学只有五个公理，因为数学研究的是抽象的东西，因而随便多少假设都行，无所谓，只要其过程正确即可。

但是科学不行，科学研究的是具体事物。比如，你研究一下地球和太阳之间的运动关系 ，明天会不会下雨，减税后经济会不会反弹，这些事情的决定因素是很多的，理论上讲是无穷多的。我们不可能穷尽所有的前提条件来研究任何事物，甚至条件太多都不行，这不具备可操作性，于是我们发明了理论，尤其是科学理论，用一种简化的方法描述了一个规律。

那么问题来了，既然你做了简化，只是使用了有限的前提条件，就算在这个有限的前提条件下，该知识是正确的，一旦应用到具体的事物中，碰到了前提条件不符，或者有更多的没有被理论涵盖的前提条件时，如何保证结论必然正确呢？不能。

这种情况在天气预报以及整个社会科学领域，都普遍存在，不管再怎么研究理论，提出再多的数学化的模型，最后的预测结果仍然精度不高。

经济学亦是如此。关于什么是理性，有学派指出，任何行为都是约束条件下的利益最大化，这其实就是把问题推到了如何寻找约束条件，而这是无法穷尽的。

2、涌现

简单的说，就是整体并非等于个体的加总。

当我们按照个体的规律，按照逻辑推演层层加总，却不必然能得到整体的结果，这里存在不可预测的“逻辑飞跃”。

这个现象在整个自然界都普遍存在，从微观到宏观，从物质到人类。

比如，我们无法通过原子的运动规律，简单加总得到分子的运动规律。量子力学里的不确定性，没法推导出宏观世界的确定性。我们就算对人体的每个分子结构都了如指掌，也没法推导出我们具体的思考和行动。每个人都是理性的，但是群体却会体现出非理性的疯狂。

也正因为如此，我们才会在有了物理学的基础上，又需要化学，有了化学，还需要生物学，有了心理学，还需要社会学 ，有了经济学还需要政治学。用霍金的话说，我们需要的一些“有效模型”，而不可能从物理学推导出宇宙万物。

3、计算不可约化

上图是一个叫“元胞自动机”的电脑游戏生成的，其规则有八条，见图的下方。我们如果问该程序的第十万行上是什么图形？能根据那八个规则作出快速回答吗？不能，在这个游戏和这种组合的规则下，你只能把程序从头到尾走一遍，走到第十万行才能知道。

这就是所谓的计算不可约性，Computational Irreducible，由史蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）提出。它的核心思想是，真正复杂的系统是没法简化的，即便你能找到其基本的数学架构，要预测未来某个运算步骤时的结果，你没法简化，只能老老实实的算一遍。

换言之，复杂系统是没法预测的。

早在100多年前，数学家彭加莱就论述过著名的“三体问题”，三个相互作用的物体，即便知道其初始条件，且相互之间只有万有引力的作用，对于其未来的运动轨迹，是没法求得精确解（解析解）的。

总结

数学来源于演绎法，可以得到确定性的知识，但是是在大家都承认其公理的前提下。科学的知识来源于归纳总结，是一种假说，并非百分之百确定，其可信度受证实或者证伪证据的影响。

由于涌现、前提条件无法穷尽、计算不可约等原因，我们并不可能通过演绎法，层层推理获得所有的新知识，自然界总是存在逻辑上的飞跃，从而让新知识超出了人类的逻辑推理能力。

对于科学理论来说，逻辑自洽是所谓的内在一致性，和经验符合是外在一致性。由于存在逻辑飞跃，不可能仅仅通过考察内在逻辑一致性来断定一个理论是否正确，必须通过结合外在一致性一起考察。