Proximal Dehaze-Net: A Prior Lea
这是论文的Supplementary Material，因为这篇论文太过于偏近于传统方法，然后只会用pytorch的渣渣自然是看不懂matconvnet框架的，所以还是先看看这个吧
1 Preliminaries
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分通道把Ac往下除
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o是矩阵的数对应进行点乘
暗通道的先验公式为
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然后把3代入4中，在一小块中默认T为常数
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然后联立公式3和公式5，再加上T和Q的暗通道的正则项，建立能量函数
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通过最小化方程（6）求解Q，T是一个不适定的问题，因为有多种解决方案。 与其他图像反问题不同，例如去噪，超分辨率和非盲去模糊，单图像去除表现为盲反问题，并且显然更难以解决。
使用半二次分裂算法求解上述能量函数，我们引入一个辅助变量U来代替Qdk，我们得到增强能量函数
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通过以迭代方式在HQS算法下交替地求解三个优化子问题来实现Eqn（7）的最小化。 令Q0 = P，T0为M×N大小为1s的矩阵，U0为M×N大小的零矩阵
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2 Deductions of Updating Formulas
在本节中，我们将详细说明如何解决优化问题（8）。 但首先，我们将介绍邻近算子[3]
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在我们的提交中，我们进一步假设正则化R（Z）在Z上是可分的，即
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对于许多常见的正则化，例如L-1或L-2范数，各向异性的总变差等，这种假设是正确的。
可以以一般形式解释在问题（8）中更新Un和Tn的子问题
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其中μk> 0是正系数，Ak，Bk，Z是M×N大小的矩阵，R（Z）是Z上可分离的一些正则化。然后Eqn（10）可以求解为
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现在假设正则化f（T）和g（U）分别在T和U上是可分的。 使用方程（11），可以容易地实现方程（8）中的U和T的更新。
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为了解决上述优化问题，我们首先让Tn为M×N×3的三维矩阵，每个颜色通道为Tn。我们将→Q表示为矩阵Q的矢量化形式。计算图像暗通道的操作是提取局部斑块的最小值，可以将其视为对图像矢量进行操作的线性变换D导致
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操作符D满足DTD是对角线的.然后Eqn（16)可以写成
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采用相对于Q的梯度并将其设为零，然后得到
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3 Computing Gradients for Back Propagation
3.1 Gradient computation of the whole network
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在我们的提交中，我们将f（·）和g（·）扩展为不需要可分离的一般正则化，并使用深度卷积神经网络学习它们相应的近端算子。 因此，我们将上述迭代算法展开为深度神经网络，称为近端dehaze-net，如图1所示。
我们的近端dehaze-net是一个多阶段网络，每个阶段实现HQS算法的迭代。 对于近端除雾网的每个阶段，
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其中，我们将Un和Tn与模糊图像P连接起来，以便更好地合并图像结构信息。 D-Net和T-Net是CNN，Θg，n，Θf，n分别是D-Net和T-Net的网络参数。 遵循T-Net的GIF块实现了引导图像过滤，这是我们端到端可训练系统的一部分，这将在后面讨论。
通过反向传播获得训练网络的梯度。 如算法1所示，在反向传播期间，
我们首先计算最终损失UN，TN和QN的梯度,表示为
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为了使用梯度法训练我们的近端dehaze-net，我们需要计算以下必要的梯度
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Gradients involved in updating Un .
当计算最终损失的梯度w.r.t. 参与方程（13）的Tn-1，所有操作都是矩阵内点值方面的。 因此，对于每个像素x∈Ω（x），我们有
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So the partial gradient of Un (x) w.r.t. Tn−1 (x) is
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备注1.对于图像P，线性算子D用于计算其暗通道P dk。转置算子D>是将暗通道中的像素放回图像中的原点。 在实现中，我们使用CUDA程序实现D和D>运算符。
备注2.在计算Qn时，我们需要计算暗通道Qdkn，这不是因果关系，因此我们近似计算Q n-1的Qdkn。 此外，算法中出现的划分是元素方面的。
备注3.对于阶段n中的D-Net和T-Net，网络输入分别是U n和T n与缩放的输入图像P连接，以便合并图像结构信息以更好地更新暗通道和透射图。
3.2 Computation graph of GIF-Block
接下来我们展示了近端dehaze-net的GIF-Block的计算图。 GIF-Block遵循[2]中的标准计算过程。 为了更好地说明，我们绘制了一个简单的引导图像滤波数据流图，如图2所示，其中蓝色实线表示前向流，橙色虚线表示后向流。 GIF块将图像p作为输入，I作为引导图像并输出滤波后的图像q。 在我们的例子中，p是由T-Net估计的透射图，I是原始的模糊图像，q是精细的透射图。 在实现中，我们使用卷积实现滤波操作，因此GIF块的正向通道可以表示为算法2。
虽然GIF-Block的前向传递很清晰，但后向传递也很简单。 由于我们不学习滤波器f，我们需要的是计算相对于输入p的损耗L的梯度。 遵循反向传播原理，我们需要沿着图2中的橙色虚线逐步计算中间梯度。我们在算法3中显示了GIF块的反向传播。在下文中，我们表示 dconv的卷积导数，即
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根据链规则和图2，给出∂L/∂q，我们有...
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