线性代数笔记11

2019-01-23 本文已影响7人大飞哥

第十一节

新型向量空间的基//矩阵的秩

新型向量空间即：矩阵空间

对于3x3矩阵空间
矩阵空间的维度是9
对称矩阵空间的维度是6
上三角矩阵空间的维度是6
对角矩阵空间的维度是3

对称矩阵空间S，上三角矩阵空间U，对角矩阵空间D
交集（intersection）
$S \cap U =D$

并集（union）
而 $S \cup U$ 都不是一个子空间

和（sum）
$S + U$
任意S中的元素 + 任意U中的元素维度是9，整个3x3的矩阵空间
加空间，就是一个平面加另一个平面，完全的相加

$dim(S+U)+dim(S \cap U)=dim(S)+dim(U)\\ 9+3=6+6$

一个例子：
$\frac{\mathrm{d^2y} }{\mathrm{d} x^2}+y=0$

两个特解是 $cos x,sin x$ ,则y的通解是：
$y=c_1cos x+c_2sinx$
则 $dim(解空间)=2$
$cos x,sin x$ 就是解空间的一组基

任何一个秩为1的矩阵，都可以表示为 $A=UV^T$
$U,V$ 分别为均为列向量

例子：
$v=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4 \end{bmatrix}$
S是 $R^4$ 内的，满足 $v_1+v_2+v_3+v_4=0$ 的空间
则S就是零空间，对应 $Av=0$ ，其中 $A=\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \end{bmatrix}$
则A的秩，rank=1， $dim(N(A))=n-r=3$

由A可以求得S的基：
第一个1设为主元，则分别另其他自由变量，一个为1，其他为0，可以求得S的基：
$\begin{bmatrix} -1\\1\\0\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}$

小世界图论的引入

$Graph=\{nodes ,edges\}$

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