换个姿势学数学：函数是个啥玩意?
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换个姿势学数学：函数是个啥玩意?
有两个变量 x 和 y ，当 x 取其变化范围中的每一个特定值时，相应地有唯一的 y 与它对应，则称 y 是 x 的函数。记为 y = f （ x ），其中 x 为自变量， y 为因变量。
你能背得下来这个定义吗？
就算能也是没有用处的，定义是为了大家讨论的方便，人为规定下来的。可以说是研究到一定程度之后的迫不得已，提前用只能让事情变复杂。我们需要知道的是数学规律本身。
那么话说回来，“函数”到底是个什么东西呢?
函数的本质
函数就是一个东西变成另一个东西。就这么简单。
为什么函数是数学中的基础概念？
因为“一个变成另一个”就是生活中的基础概念，我们每天都会遇到。
比如，面粉+酵母 → 馒头
种瓜得瓜，种豆得豆[1]
种子变成植物，这也是一个函数。
种下西瓜种子，加上肥料，西瓜成熟的时候，函数运算就完成了。
西瓜种子+肥料=西瓜
也就是说，你放进去的东西是确定的，产出就应该是确定。
不可能出现这种情况。
西瓜种子+肥料=西瓜+大白菜
这就是人们所说的“种瓜得瓜，种豆得豆”。
当然，你可能说今年遭灾了，我把西瓜种子播下去之后，什么也没得到。
那么其实可以看成。
西瓜种子+肥料+没有水=空
因为现实是非常复杂的，这里只是做一个比喻。西瓜种子变成西瓜，不仅需要肥料，还需要很多东西。
如果有人不相信数学是简单的,那是因为他们没有意识到人生有多复杂。
——冯•诺依曼
函数的特殊性
函数和生活中的这些变化，最大的一个不同就是，函数是数字之间的转变。其他的区别还真是不大。
函数的表示
如果你在看一本农学书，上面可能有这样的说法：
播下西瓜种子，放上肥料，然后按照书上所说的方法进行耕种，到了夏天，你会收获一个西瓜。
数学世界是简单的，如果用自然语言表示反而更啰嗦。
比如，数学中常用的函数是“+”。
如果还啰里啰嗦的，那就是：
1加上2，等于3。
因为用的太多了，为了方便，我们写成：
1+2=3
但是世界上的符号是有限的。
你看看键盘上，就那么大点儿地方，要是每一种变化都加一个符号，那他娘的还怎么记住？
穷人家的裤子
方法很简单，既然关系太多了，没有办法都给一个符号。
那么就找一个通用的符号来代替。每次用之前先说明白这个符号代表的规则是什么，这样的话，符号其实就源源不断了。
新中国刚成立的时候，大家都穷，很多人家就只有一条裤子。那怎么办呢?也不能出门的时候光着腚吧。勤劳勇敢的人民，想出了一个好办法，谁出门谁穿裤子。这就一下子解决了裤子不足的问题，在这里也是一样的。
比如有这么一种变化规则
变化规则
如果用自然语言表达的话怎么说呢?我觉得可能会这么说：把 a 变成 1/a 的形式
如果经常用到的话，这么说可能会太麻烦了。
所以我们干脆起一个名字叫做 f ，这是外国人起的，英语里函数是 Function，首字母是f。
这种形式的意思就是，以x为形参的函数f，=好后面的内容是“对应法则”，也就是“怎么变”。[2]
这个函数定义好了之后，用起来就非常方便了。
定义函数是为了讨论问题的方便
人们发明函数是为了讨论的方便，也是为了少写字。
所以遇到多次出现的变化，为了写字快一些，你需要自己定义一个函数。看的人也会省不少心。
当你第一次定义后，你就会感觉到函数的便利。
描述对应法则的方法
描述最近法则不一定非要用数学表达式。
什么用的爽你就用什么。
比如，你想定义一个向下取整函数，也就是任何带有小数点的数字，都去掉小数点。
如果你用数学表达式的形式，这个东西是不好写的。
那么你就干脆使用自然语言，然后旁边再配上案例。
floor(x)={对小数x，向下取整。也就是去除它的小数部分。}
案例：比如，floor(4.4)=4
如果你觉得自己的读者，看得懂的话，你可以直接用数学中约定俗成的 ⌊⌋ 。
除了用自然语言、数学符号和表达式之外，你还可以用任何东西进行描述，其他的两种常见形式是对应表格和图像。
函数名的可读性问题
当你要定义多个函数，或者多次使用某一个函数时。为了便于理解，函数名一定要有意义，不要使用单个字母。[3]
总结
- 函数本质是变化，数学中的函数是数的变化。
- 发明函数是为了方便讨论和复用。
练习
- 之前你有没有接触过什么函数？
- 翻翻一下之前做过的数学题，有没有什么题目，是可以通过函数进行简化的?
- 没有发明“函数”这个东西之前，人们是怎么样表示一种变化规则的?反正我很好奇，也许几千年来都蠢的很。
- 关于函数，你想到了什么?
课后练习
题目1：原题
这个两个题的关键在于形式参数的理解，在编程的时候如果有IDE辅助，把这两个参数可以是同一个名字的，因为颜色上会有区别，如果没有的话，那么是不能用同一个名字的，这样会造成可读性的下降。所以，我觉得这些题像是在玩弄一些文字游戏，不过想清楚了，还是有助于理清楚概念。
拆解： 这种表达方式就是毫无意义的，如果是在定义函数
，那么使用
x+1作为自变量，在这里是看不出有任何意义的，只能增加复杂度。
至于求那就更无意义了，上一个
x和这里的x是两个东西，前者是一个形式参数，后者是一个实际参数。
因为根本就没有给出的具体值，所以它的最终形式就应该是
。
遇到实际情况后，根据需要再决定是否进行展开多项式等变化。
题目2：原题
拆解：这是一个函数的定义，其中的
x是“形式参数”，而是另一个函数的定义，所以其中的
x也是一个形式参数，他们两个的x是毫不相关的。
所以求解析式就非常简单，那么把作为新的参数，重新带入
。
表达函数的复合运算，用，这种形式似乎更常见一些吧。
用Geogebra绘图
在使用函数的时候，为了看起来方便，我们经常需要绘制函数图像。建议使用 Geogebra 绘制，输入规则就自动帮你画好了，很棒。
Geogebra
注释
[1] 显然是存在一个输入对应多种输出的情况，这种东西本质上也是一种变化。
但是在高中的定义中，这种情况不属于函数。我猜，多值函数可能过于复杂了，不适合现阶段的学习，所以不被定义在函数之列了。
由于我们在之后不会触碰到这个禁区，所以这个定义是不重要的。
非常不幸的是，考试的时候会考的。
记住并不难，你就想“种瓜得瓜，种豆得豆”就可以了。我不喜欢在定义这个问题上过多的纠结。
重要的从来就不是词汇，而是世界本身。
关于私有定义问题的这个解释已经加入FQA。
[2] 形参是“形式参数”的意思，教材中叫做“自变量”，我认为两种叫法各有各的优点，所以可以混合使用。
“形参”全称“形式参数”，它只是一个形式，还没有实际的意义。他的作用范围仅限于描述函数的数学表达式。比如，，其中的
的作用范围仅仅限于
中，如果你在文章其他任何地方使用
，那么默认其他的
和这个表达式中的
没有任何关系。
[3] 符号{}用于强调，这是在“定义函数”，而不是“使用函数”。比如， 这种形式，如果你写成
，别人就不知道你的
到底是一个形式参数还是一个实际参数。如果是一个形式参数，那么你就是在定义函数；如果这不是一个形式参数，那么你就是在计算。
[4] 感觉实际应用中会是这样。但是，纯数学研究中，可能某个函数本身就是还不知道什么意义，如果是这样，也许可以用单个字母吧，因为没有更好的方法。
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作者信息
心如止水：阅读 思考 践行
