特殊函数不特殊

学习量子力学，就要解微分方程，解微分方程，就离不开特殊函数，先前，被这些函数的气势所吓，碰见就绕着走，结果，问题是越积越多，不明白的地方也越来越多，就没办法继续学下去了。所以，遇见了问题，总是躲着是不行的，还是得面对它，战胜它。只要坚持练习，每个人都可以做到任何事。于是，花了些时间来了解，到底什么是特殊函数，这些理论到底在讲些什么，为什么这些函数的表示都如此复杂。

经过一段时间的学习，确实也有收获，搞明白了几个问题。首先，这些函数不是人为构造的，而是自然的，他们是微分方程的解函数，微分方程正如我们所知，往往用来描述一些自然现象，那么这些函数其实就是自然现象背后的数学规律，比如，光的衍射，观察光通过小孔发生的衍射现象，会出现一圈圈的明暗相间的环，或者观察光照下物体的影子，会发现影子的边缘是非常模糊的，有一片过渡区域，就像黑与白之间的灰色，模糊但存在。这种现象在生活中处处存在着，于是，有一个问题，能不能用函数来表示出这种明暗现象呢？当使用亮度作为函数值时，它可以在屏幕上绘制出来，就和我们观察到的现象一样呢？显然是存在这样的函数的，屏幕上呈现的东西总可以用数学来表示出来，比如一张照片，可以用数目巨大的小格子来分割它，对每个格子染色，赋予一个色彩值，就将照片表示成立一个巨大的矩阵，矩阵自然可以认为是函数。不过，这样子给出的函数不是我们喜欢的连续的函数，就像一条曲线一样，可以一笔画出，而是离散的函数，需要我们拿出各种色彩的笔，填满一个数目庞大的格子海洋。这种工作还是交给计算机作比较好，人们需要更优雅的工作方式。

这种优雅，就要求这个函数是连续的，甚至说是光滑的，没有丑陋的折线与尖点，使用一支笔就可以将其图像流畅的画出。这样的函数最终还是找到了，称为菲涅耳积分，是由积分表示出的函数，图像如像想象般的光滑，但是表达式却是不怎么优雅，包含了一个积分号，想要求解在某点的函数值都需要求解一个复杂的积分，而且这个积分凭现有的手段还算不出来，曾经被视为求解利器的多项式，三角函数，指数和对数，对于这种新式的函数无能为力，函数的世界发生了改变，优雅的古典函数无法处理这个奇怪的家伙，但是在图像上他却还是那么的光滑，还是连续函数的同类。

于是，野蛮的方法被使用上了，幂级数，一个强大的有力的工具，但是因为其形式的复杂，不受人们的欢迎，尤其是无穷的求和项，似乎嘲笑人们的弱小，因为古典时代，人们认为有限的时间无法计算无穷的数目，这个工具强力但是难以掌控，不过，为了解决面前的问题，还是不得不用。精妙的代数技巧，炫目的变量替换，代之以简单而繁琐的系数项相等，通过无穷多个方程，求解无穷多个系数，虽然可以通过寻找规律，得到递推公式，由递推公式得到求和序列的通项，最终得到一个比较简短的无穷级数表达式，但是，当系数的变化非常复杂的时候，这个通用的表达式也会变得非常复杂，因为，将无穷多项化简为一个简短的规律未免太过贪心，本来就是极大的幸运。至此，随着幂级数的引入，数学变得丑陋了，虽然可以解决更多的问题，但再也回不去过去优雅的古典时代了。

特殊函数就是这一历史的缩影，特殊函数在图像上并不特殊，还是光滑的曲线，但是在表示上却是使用幂级数表示的，本身具有无穷多项，相比于初等函数的简洁性，自然大大不如。人们为了方便表示，就引入了大量的符号，结果虽然形式上紧凑了，却变得像天书一般看不明白。特殊函数论就是幂级数论，也就是解析函数论了。

所以，这其实也反映了一个问题，数学还是要寻其本，而不是在形式上纠缠不休。每次当出现使用符号来简化形式时，就会出现理解上的问题，拦住许许多多的人。因此，数学学习，关键就在于这里，要在把握住本质的基础上，将旧的表示法，更新为新的表示法。这一过程需要长久的练习才能顺利转变，所以对于教科书而言，不妨给出充足的时间和例题。