球型线性插值

简述

球型线性插值简而言之就是在由起点p1和终点p2两个基向量所构成的平面中,从一个端点到另一个端点的移动过程.

---

球型线性插值公式如下:

q(t) = (1 - t)q1 + tq2
其中t的取值范围为[0,1],从公式就可以看出 (1 - t)q1与tq2为一个此消彼长的过程.

---

下图是q(t)的q1分量,即a(t)的计算示意图

sinθ(1-t)为q(t)到q2的垂线长度,sinθ为q1到q2的垂线长度
在这里就能看出,sinθ(1-t)会随着a(t)的增大而逼近sinθ,同时也会随着a(t)的减小而逼近0.
也就意味着a(t)与q1完全重合时:

sinθ(1-t) = sinθ
sinθ(1-t)/sinθ = 1

a(t)与原点o重合时则:

sinθ(1-t) = 0
sinθ(1-t)/sinθ = 0

可以发现这里a(t)到q2的垂线长度的取值范围就是[0,sinθ],其sinθ(1-t)/sinθ的结果也与t的取值范围相重合.
因此即可通过该式算出a(t): (sinθ(1-t)/sinθ)*q1.
q2分量b(t)的计算方式也与a(t)类似.

b(t) = (sinθt/sinθ)*q2

最后的q(t)即为:

q(t) = a(t) + b(t)

---