换个姿势学数学：纳尼？对数居然是『作弊』神器😱
UX012
指数级增长
经济的高速增长
指数级增长的经济
经常在新闻上看到这种说法，感觉就是快，但是和指数有什么关系呢？
在经济发展良好的时候，我国GDP平均涨10%左右。
假设一开始的GDP是，则第二年，就是
，第三年就是
。
改革开放40周年，都这么增长的话，也就是。
从指数增长看改革开放伟大成就
改革开放40年经济数据回顾
明明也就是每年增长百分之而已嘛，100块过了一年才变成110块，好像也多买不了什么东西啊。
一开始的确感觉速度一般，但是看起来很小的一个数，只要是以指数形式进行增长，也就是“利滚利”，那么最后的结果一定是非常恐怖的。
可以对照函数图像看一下，在最初的时候就会给人“好像没有怎么增长”的错觉，因为图像非常的平缓。
但是只要给短短的一段时间，整个函数图像的斜率就会疯狂的增加，以至于几乎垂直。
突然剧增
负增长
反过来，如果是负增长的话，从函数角度来看，也就是。
是否能够进行指数爆炸性增长，关键性的因素是看底数。
这里我们可以用Geogebra做一个动图，展示一下。
底数的变化和指数增长
从图上可以清楚的看到，如果负增长的话，那么很快这个值就逼近0了，经济就迅速萎缩。
数学不好的国王
还有一个经典的故事，讲的也是这个道理，
国王打算奖赏象棋的发明人。他对国王说：“请您在棋盘的第 1 个小格里，放 1 粒麦子，在第 2 个小格放 2 粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。我想要这么多麦子”。
国王觉得这要求太容易满足了，就同意了。当人们开始计数时，才发现把所有麦粒全拿来，也满足不了要求。
总数
粒，举全国之力生产500年才可以办到。
吐槽一下，幸好这个故事不发生在中国，否则这哥们脑袋估计是保不住了...
多啦A梦中的指数增长
动画片里也会拿这个作为题材，如果你看过哆啦A梦，大概会记得里面有个道具叫“倍增液”。
用上去之后，任何东西都会像细菌那样分裂，其实这也是指数增长。
大雄把倍增液滴到了栗子馒头上，后一个没吃完，回到家一看，满屋子都是这东西了。
栗子馒头海
作为催眠药的对数
对数是一种什么运算?
对数运算就是已知底数和幂数[1]，计算指数；所以，对数和指数说的是一回事。
用幂运算表示就是这样： 。
可以看到，它的表示方法是，其中的
代表的就是对数运算(或者说对数函数)，之所以用
是因为他的英文名叫做对数
。
指的是底数，在对数函数里，这是一个常数；
就是幂数，在对数函数中也叫做“真数”，是这个函数的参数。
为什么对数难理解？
对数在这里面是最特别的：
从幂运算上的角度，对数函数的参数是幂运算的输出值。
刚刚谈到的幂函数和指数函数，分别是和
，他们的参数和幂运算是一致的，所以怎么用怎么顺；而现在完全反过来了，所以怎么用怎么不顺。
对数―一个让许多学生闻名丧胆的词。- 《普林斯顿微积分》
天然催眠药
我曾经看到就直犯恶心，总是要想半天“到底是求谁”。
然后我的脑袋里就出现了三个铁球转来转去的，之后就是脑袋发蒙，想睡觉。
转转转
所以，别人失眠的时候数羊，我一般是想，我总是忘记他到底是啥意思，而且一想就晕，所以想一会儿就睡着了，特别灵验。
对数？为什么起这么操蛋的名字呢？用幂、指数和底数，起名字就不行吗？
为什么)
是求指数的？
的参数是真数，这个好理解的，之所以它看着难懂，就是因为它和幂运算是反着的。
那么，log函数的输出值到底是指数还是底数呢？
一定是指数。
因为求底数，不需要用这种特殊形式。
比如，求以为指数的
的底数，其实就是对
开方，而这个动作恰好就是幂运算本身 ：
=
。
所以用不着这么麻烦，这种特殊形式一定是给求指数准备的咯。
梳理一下乱乱的名字
名字实在是太乱了，梳理一下非常有必要。以这个代数式为例 ：
代数名称
→ 幂数&真数
→ 底数
→ 对数&指数&几次
运算名称
&
求
→ a的b次幂(方)
&
求
→ 以a为底的c的对数
&
求
→ 开b次方& a的
次方(幂)
为啥“幂数”也叫“真数”？
对数是清初的数学家薛凤祚和传教士穆尼阁翻译引进的。
➣为什么幂数也叫做“真数”？
因为最早的时候，把“对数”，翻译为“假数”，既然输出值是“假”，那么与它相对的概念输入值自然就是“
真”，幂数就叫做“真数”了。
➣为什么叫做“假数”？
没查到相关的资料，这个名字真的好怪。。
➣为什么又改成叫做“对数”？
一开始的时候确实是翻译为“假数”，但是后来用着用着就这么叫了。
因为这个名字和对数的实际应用有关，下面马上就会谈到了。
对数运算的规则
引入一个新的概念，最重要的事情就是制定兼容的运算规则。
对数运算(求指数)是幂运算的逆运算，之前我们已经谈过幂运算的规则了，那么这个也就非常简单了。
指数加法对应幂乘法，指数减法对应幂减法，指数乘法对应幂的幂，所以：
为了运算的方便，往往会使用以为底的对数，所以
可以简写为
或者
，称为“常用对数”。
了不起的对数
对数是怎么来的？
偷偷告诉你，其实“对数”这个概念比“指数”出来的还要早呢。
➣指数的发明有什么用处呢？
充其量就是少写一些，最极致的用处无非就是科学计数法了，那要少写多少
啊，真是太棒了。
对数更伟大，他的作用是把乘法运算变成加法。
➣为什么能做到这样呢？
仔细的看一下对数的运算规则，你就会懂了：化乘除为加减，化乘方开方为乘除，将高级运算降为次级运算。
最早使用这种方法来简化运算的是天文学家，因为要研究星体的运行轨道，需要进行大量的乘法计算，自从有了对数，大大提高了计算的效率。
对数用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍。 - 法国大数学家拉普拉斯
乘法和加法之间的桥梁
可以说对数是连接乘法和加法的桥梁。
对数是连接乘法和加法的桥梁
恐怖的指数增长世界和现实世界
如果说“幂”是倍增液，那么“对数”就是缩小灯了。
缩小灯
神器对数表
➣用对数来简化计算，具体是如何操作的？
具体的来说，人们是通过查对数表[2]实现的，就拿计算来举例子吧。
根据对数的运算法则，我们可以知道：
只要得知对数 的具体值
，然后再从表中查出与他一一对应的真数
，那么
真数也就是
的计算结果了。
➣那怎么知道L？
和
都可以在对数表中查得到，查出来之后，只要做简单的加法，
就获得了。
➣那怎么找到真数？
还是通过对数表，知道对数之后，反过来自然就能查到，就像查字典一样。
具体操作
从查找资料来看，我国最后一本对数表是1977年出的，后来随着计算机的普及，也就没人用这个玩意儿了。
不过只用文字来描述，还是有点抽象，刚好我这里有一本对数表，那我们就实际的操作一下试试看。
步骤1：查
和
的值，计算对数
俯瞰对数表
对数表非常厚，一直可以查到五位数的真数，我们要计算的乘数还有三位，其实在前几页就可以找到。
log155
log264
果不其然啊，分别在第一页和第二页，就找到了。
➣是什么意思呢？
这个对数表用的是“常用对数”，只有在遇到10的乘积时，对数才整数，而其它情况大多都是小数。
比如 ，
，
，
。
看到这个很容易就联想到，到
之间的所有对数，它们的整数位都是1。
既然整数一下子就看出来了，所以对数表上就没有写，写上去的六位只是小数而已，在这里称作"尾数"，前面那个整数叫"指标"。
所以我们就能够得知155的对数是，264的对数是
。
那么
步骤2：通过查到真数
，计算出结果
➣那么接下来我们该怎么查到这个对数的真数呢?
我们可以看到，其整数为2，那么对应的，一定是
之间的某个数，知道了之后，我们就开始迅速的翻这个表格,，翻的过程中你会发现，表格突然有了变化。
➣怎么从六位变成了四位?
六位变成了四位
因为真数到4位后，其尾数的前两位，相同的就非常多了 ，直接把前两位写在最前面，这样后面就可以省略了 ，就如同我们省略了整数(指标)一样。
知道这一点之后，我们就要先找到前两位，往后飞快的翻，发现在第67页出现了
。
第67页出现了61
那么在慢慢的往后翻一下，看一看我们所需的在哪里。
定位到 1936
这样我们也就得到了，其真数是。计算完毕。
用现代的计算器进行验证[3]
现在用计算器来验证下。
用计算器验证
完全正确。
对数的名字
这样的话你就理解为什么叫做"对数"了吧，哈哈哈，本来就是一对儿一对儿来用的，想不这么叫也难呢。
工程师的象征
对数表的故事
纳皮尔是一位苏格兰贵族，对数值的计算有很深的研究。为了找到简化球面三角计算的方法，他也产生了发展对数的想法。1614 年，他在自己的书籍《奇妙的对数表的描述》上发布了自己的对数表。
只要手里有一张对数表，就可以以极快的速度进行各种运算。
17 世纪初，开普勒用这个神器计算了火星的轨道。没有对数的帮助，他也许就永远无法发现 “开普勒定律”——行星运动三定律，开普勒定律又为牛顿的物理学发现奠定了基础。
可以说，如果没有对数的话，现代科学还会晚诞生很多年。
1914年，对数发明300年时，庆典在爱丁堡举行，庆典上莫尔顿致辞道：“对数的发明犹如黑夜一道闪电划破长空，没有任何预兆。它未曾借助其他已知的智慧结晶，也未沿袭现存的数学理念，那么突然、孤立而又出乎人们意料地出现了。”
之后，英国数学家们，又启动了编著20位的对数表的大工程，以示庆祝。这个对数表最终在1949年才完成。
对数尺传奇
利用对数表运算，是可以非常精确的，但是你不得不翻来翻去的。
在很多领域，并不需要用到这么高的精度，只需要2到3位就可以了。
这个时候，人们就发明了对数尺，两个尺子之间的滑动代表加减，这样的话连查表都不需要了，唯一需要做的就是读数。
懒是人类进步的动力
在战场上，对数尺是炮兵们可靠的战友。
炮兵们使用对数尺
NASA用它来把人送上月球。
阿姆斯特朗和他的对数尺
在上世纪70年代之前，使用对数尺是必备的技能，也是工程师的象征。
曾几何时，工程师们视数尺为传家宝，在自己儿女上大学的时候是要郑重其事地传给他们的。
对数，其实就是信息时代来临之前计算器，它的实用性和重要性不言而喻。
对数尺是工程师的象征
数学发明几乎都是为了简化运算，都是为了偷懒。令你昏昏欲睡符号，数学家和工程师们却深爱着她。在不懂的时候，却强制用就只能是东施效颦了。
对数尺远离我们已经有几十年了，如果你很想领略一下对数尺的魅力，那么可以看一下这个视频。
作弊用具
现如今，对数尺以这样的方式又回到我们身边，喔~，这真是一种讽刺。
作为作弊用具的对数尺
作为作弊用具的对数尺
注释
[1] 整个系列里面幂运算的结果都叫做幂数，但涉及到对数的时候，可能会叫做真数。没办法，这些名称实在是非常乱，得好好梳理一下你才能搞懂。
[2] 其实最初的两种对数表都不是十进制的，他们的底数都是，分别是
和
。这么做，自然是为了让变化速度尽可能小，以便于计算。其实这就涉及到差分的内容了。
[3] 更多数的情况并不是恰好能够查得到，而是落在两个数之间，如果要求精度比较高的话，根据差再查一下表就行了。
参考资料
- 《e的故事》
- 《图解数学学习法》
- 《数学史》
- https://www.zhihu.com/question/33437910 @Tariel
- https://www.zhihu.com/question/26097157 @马同学
QA
下一步准备谈什么呢？
本来我想继续谈指数和对数函数，但是看了一下克莱因的《高观点下的初等数学》，他说如果不学习一点复变函数，是没法真正的了解对数函数的。
所以下一步我准备把这一段先给绕过去，而先直接学习三角部分，然后直接学习导数以及积分，最后学习基础复变，再引出指数和对数函数。
克莱因谈对数函数
指数和对数函数的一种学习路径
为什么涉及如此多的数学史内容呢？
克莱因谈数学史的作用
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作者信息
心如止水：阅读 思考 践行
