等额本息计算公式推导
一、等额本息每期还款总金额计算公式
假设贷款总金额为A，月利率为β，贷款期数为k，
每期需还款总金额（本金+利息）为x，
则：
第一期还款后，欠款总金额 Q1 = A * (1 + β) - x
第二期还款后，欠款总金额 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
第三期还款后，欠款总金额 Q3 = Q2 * (1 + β) - x
= {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x
= A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出 第k期还款后，
欠款总金额 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ...
= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。
我们发现[ ]内是等比数列，等比数列求和公式是不是又忘记了？
我们一起来推导下。设y=1 + β，
则Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k，
两公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，从而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
由此继续 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，
第k期还款后贷款结束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，
得出等额本息每期还款本息总额 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，这便是每期需要还款的总金额。
二、等额本息每期还款本金计算公式
等额本息每期还款总金额x公式已经有了，那么每期还款的本金是多少呢？
假设第n期还款本金为Pn，
则：
第一期需还本金 P1 = x - A * β
第二期需还本金 P2 = x - (A - P1) * β
= x - {A - [x - A * β]} * β
= x - A * β + (x - A * β) * β
= P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)
第三期需还本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β
= x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β
= x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β
= P1 * (1 + β) ^ 2
则可以猜测第n期需还本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
下面我们来论证这个公式，假设公式成立，
则 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β
= x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β
= x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β
= x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n
由此可以得出，等额本息还款中每期还款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
三、首期利息与末期本金
1、首期利息 等额本息中，首期还款可能存在不足月的情况，这时候本金可以严格按照上述公式得出，
但利息肯定不能按满月算了（每期还款利息是按期数-月为单位的）， 这时候首期利息得需要按实际使用天数进行特殊计算。
假设第一期还款时实际使用天数为 t，则首期利息 L1 = A * β * t / 30
如何计算首期实际使用天数？
首期实际使用天数计算实性的是“对月对日”，首先找到首期还款日t1对应上一期的还款日t0（若当月t0不存在，则往下延一天，即下月的首日），再比较起息日y和t0的天数差，综合，首期实际使用天数 t = 30 - (y - t0)。
范例：
1) 起息日2018-02-15，首期还款日2018-03-10，则t0为2018-02-10，
得出首期实际使用天数 t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25
2) 起息日2018-03-02，首期还款日2018-03-31，则t0为2018-03-01
（对应2018-02-31不存在，则顺延一天）
得出首期实际使用天数 t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29
2、末期本金
由于每期还款本金是公式计算后取四舍五入的值，存在精度丢失问题，
因此末期还款本金金额为 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)
四、总结
假设贷款总金额为A，月利率为β，贷款期数为k，
每期需还款总金额（本金+利息）为x，
第n期需还款本金为Pn，第n期需还利息为Ln，
则：
第1至k-1期每期还款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
第k期还款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)
第1期还款利息 L1 = A * β * t / 30 第2期到k期还款利息 Ln = x - Pn
第1期还款本息总额 w1 = P1 + L1 第2期至k期还款本息总额 wn = x
五、等额本息Excel公式
利用函数PPMT(rate,per,nper,pv,fv,type)计算本金，IPMT函数计算利息
本金＝PPMT(各期利率,第几期,总期数,本金）
利息＝IPMT(各期利率,第几期,总期数,本金）
Excel中的PMT函数，通过单、双变量的模拟运算来实现贷款的利息计算。
PMT函数可基于利率及等额分期付款方式，
根据贷款利率、定期付款和贷款金额，来求出每期(一般为每月)应偿还的贷款金额。
PMT函数的格式和应用方式： PMT(Rate，Nper，Pv，Fv，Type)
其中各参数的含义如下：
Rate：各期利率，
例如，如果按8.4%的年利率借入一笔贷款来购买住房，并按月偿还贷款，
则月利率为8.4%/12(即0.7%)。
用户可以在公式中输入8.4%/12、0.7%或0.007作为Rate的值。
Nper：贷款期数，即该项贷款的付款期总数。
例如，对于一笔10年期按月偿还的住房贷款，共有10×12(即120)个偿款期数。
可以在公式中输入120作为Nper的值。
Pv：现值，或一系列未来付款的当前值的累积和，也就是贷款金额。
Fv：指未来终值，或在最后一次付款后希望得到的现金余额。
如果省略Fv，则假设其值为零，
也就是一笔贷款的未来值为零，一般银行贷款此值为0。
