iOS算法之汉诺塔

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时，假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下：18446744073709551615秒。

这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

问题描述：

有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有诺干个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上（如图）。

把这些个盘子从A座移到C座，中间可以借用B座但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。

描述简化：

把A柱上的n个盘子移动到C柱，其中可以借用B柱。

算法分析

A上有n个盘子。

如果n=1，则将圆盘从A直接移动到C。

如果n=2，则：
1）将A上的n-1（等于1）个圆盘移到B上；
2）再将A上的一个圆盘移到C上；
3）最后将B上的n-1（等于1）个圆盘移到C上。

如果n=3，则：
将A上的n-1（等于2，令其为n'）个圆盘移到B（借助于C），步骤如下：
1）将A上的n'-1（等于1）个圆盘移到C上。
2）将A上的一个圆盘移到B。
3）将C上的n'-1（等于1）个圆盘移到B。

B将A上的一个圆盘移到C。

C将B上的n-1（等于2，令其为n'）个圆盘移到C（借助A），步骤如下：
1）将B上的n'-1（等于1）个圆盘移到A。
2）将B上的一个盘子移到C。
3）将A上的n'-1（等于1）个圆盘移到C。到此，完成了三个圆盘的移动过程。

从上面分析可以看出，当n大于等于2时， 移动的过程可分解为三个步骤：第一步 把A上的n-1个圆盘移到B上；第二步 把A上的一个圆盘移到C上；第三步 把B上的n-1个圆盘移到C上；其中第一步和第三步是类同的。 当n=3时，第一步和第三步又分解为类同的三步，即把n'-1个圆盘从一个针移到另一个针上，这里的n'=n-1。

详细代码请参考Algorithm。参考代码比文字好理解。