数学笔记：集合

2019-12-21 本文已影响0人 khaos

数学分析

我们把集合理解为由若干确定的、有充分区别的、具体或抽象的对象合并而成的一个整体——集合论奠基人格奥尔格·康托尔描述的集合概念。

康托尔集合论的基本前提可归结为：

所有集合的集合，就是一个矛盾的概念。

关系定义
- 并集 $A \bigcup B := \{ x \in M | (x \in A) \bigvee (x \in B)\}$
- 交集 $A \bigcap B := \{ x \in M | (x \in A) \bigwedge (x \in B)\}$
- 差集 $A \backslash B := \{ x \in M | (x \in A) \bigwedge (x \notin B)\}$
- 补集 $C_MA := {x \in M | x \notin A}$
交换律
$A \bigcup B = B \bigcup A$ .
$A \bigcap B = B \bigcap A$ .
结合律
$A \bigcup (B \bigcup C) = (A \bigcup B) \bigcup C$ .
$A \bigcap (B \bigcap C) = (A \bigcap B) \bigcap C$ .
分配率
$A \bigcap (B \bigcup C) = (A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$ .
$A \bigcup (B \bigcap C) = (A \bigcup B) \bigcup (A \bigcup C)$ .
德摩根法则
$C_M(A \bigcup B) = C_MA \bigcap C_MB$
$C_M(A \bigcap B) = C_MA \bigcup C_MB$

笛卡尔积
对于任意集合 $A,B$ 可以构造出新集合 ${A,B} = {B,A}$ ，这当然是无序对，而序对 ${A,B}$ 则要区分第一个元素和第二个元素， ${A,B} = {C,D}$ 表示 $A=C$ 且 $B=D$ 。现设 $X,Y$ 为任意两个集 $X \times Y := { (x,y)|(x \in X) \bigcap (y \in Y)}$ 叫做 $X,Y$ 的直积或笛卡尔积。

1.外延公里 集合 $A$ 和集合 $B$ 相等，当且仅当他们具有的各元素是相同的。
2.分离公里 任何集合 $A$ 和性质 $P$ 都对应一个集合 $B$ ，其元素是且仅是 $A$ 中具有性质 $P$ 的各元素。
3.并集公里 对于集合的任何集合 $M$ ，存在一个被称为集合M的并集的几何 $\bigcup M$ ，其元素是且仅是 $M$ 的各元素所包含的那些元素。
4.配对公里 对于任何集合 $X$ 和 $Y$ ，存在一个集合 $Z$ ，其元素仅为 $X$ 和 $Y$ 。
5.子集之集公里 对于任何集合 $X$ ，存在一个集合 $P(X)$ ，其元素是且仅是 $X$ 的各子集。
6.无穷公里 归纳集存在。（归纳集：如果一个集合包含空集以及自身任何一个元素的后续集，叫归纳集。定义： $X^+ = X \bigcup \{X\}$ 为后续集。）
7.替换公里 设 $F(x,y)$ 是以下命题：对于集合 $X$ 中的任何元素 $x_0$ ，存在唯一的对象 $y_0$ ，使得 $F(x,y)$ 成立。那么，满足以下条件的对象 $y$ 组成一个集合：存在 $x\in X$ ，使得 $F(x,y)$ 成立。
8.选择公里 对于任何由互不相交非空集合组成的集合族，存在集合 $C$ ，使得对于该集合中的任何集合 $X$ ，集合 $X\bigcap C$ 只由一个元素构成。

定义集合 $X$ 所在的类称为集合 $X$ 的势或者基数类，记为 $card \ X$ ，如果 $X$ ~ $Y$ ，即可写出 $card \ X = card \ Y$ 。作用：使我们能够比较集合所有元素的数量，而不必采用数学的方式作为中间步骤，即不必通过与自然数列 $\mathbb{N}={1,2,3,\cdots}$ 的比较来衡量元素的数量。

$(card \ X \leq card \ Y) := (\exists Z \subset Y | card \ X = card \ Z)$

康托尔定理 $card \ X = card \ \mathcal{P}(X)$ ，其中 $\mathcal{P}(X)$ 表示 $X$ 的一切子集构成的集。这个定理表明，如果无穷集存在，则“无穷性”也是各不相同的。
集合的势的性质
- 1 $(card \ X \leq card \ Y) \bigcap (card \ Y \leq card \ Z) \Rightarrow (card \ X \leq card \ Z)$
- 2 $(card \ X \leq card \ Y) \bigcap (card \ Y \leq card \ X) \Rightarrow (card \ X \leq card \ Y)$ （施罗德-柏恩斯坦定理）
- 3 $\forall X \forall Y(card \ X \leq card \ Y) \bigcup (card \ Y \leq card \ X)$ （康托尔定理）