正态分布和中心极限定理

1.正态分布

正态分布（Normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution）。

正态分布的均值，决定了分布的位置。

其方差或标准差，决定了分布的幅度。标准差SD越小，则曲线越高尖，反之则越矮胖。

95%的测量值介于均值±两个标准差

2.中心极限定理

中心极限定理：从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n足够大时，样本均值 的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2/n的正态分布。

1.均匀分布验证

让我们从均匀分布开始：

这个分布从0到1，在0和1之间选择数值的概率相等。我们可以从这个均匀分布中随机抽取20个样本，然后计算这些样本的平均值。

通过多次随机抽取20个样本，将得到的均值进行绘图，在直方图上加上100个平均值后：很容易看出这些平均值是正态分布的。

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即使这些平均值是用均匀分布的数据计算出来的，平均值本身不是均匀分布的, 而是正态分布的。

2.指数分布验证

这次我们从指数分布开始：

像以前一样, 我们可以从这个指数分布中采集20个随机样本，并且就像以前一样, 我们可以计算出所有样本的平均值。

通过多次随机抽取20个样本，将得到的均值进行绘图，在直方图上加上100个平均值后：很容易看出这些平均值是正态分布的。 image.png

即使这些平均值是用指数分布的数据计算出来的，这些平均值却不是指数分布的，相反, 这些平均值是正态分布的。

事实证明你从什么样的分布开始并不重要，如果你从这些分布中采集样本，那么平均值都将是正态分布的。

但是知道平均值是正态分布的有什么实际意义呢？

当我们做一个实验时, 我们并不总是知道我们的数据来自什么分布，但是因为中心极限定理，我们知道样品平均值将是正态分布的，因为我们知道样本的平均值是正态分布的，我们可以：

用平均值的正态分布来确定置信区间，通过t-检验, 从中我们可以判断两个样本的平均值是否有差异。

通过方差分析, 从中我们可以判断三个或更多样本的平均值是否存在差异

注: 有些其他领域的人认为为了保证中心极限定理的正确性，样本大小必须至少为30。这只是一个被认为安全的经验法则，而非必须！