圆幂定理

定理1(相交弦定理) 如下图，的两弦交圆内于，那么

相交弦定理

定理2(割线定理) 如下图，的两弦的延长线(或反向延长线)交圆外于，那么
定理2的描述中，延长线与反向延长线的结果是一样的。

割线定理

定理3(切割线定理) 如下图，的弦的延长线(或反向延长线)交切线于，那么。

切割线定理

评注 相交弦定理、割线定理、切割线定理统称圆幂定理。因为这三个定理可以统一描述如下：

定理4 两条直线相交于，交于,交于，那么.

当点在圆内时，为相交弦定理；当点在圆外时，为割线定理；当点在圆外且重合时，为切割线定理。

---

例题

题1 如图1-1，中，，以为圆心、为半径作圆，与BA的延长线相交于，求的长度。

图1-1

解 如图1-2，延长 CA,AC交圆于E,F。

图1-2

根据勾股定理有：

又因为：

所以：


根据相交弦定理得：

所以

---

题2 如图2-1，是半圆的直径，点在圆上,于点；已知点在的延长线上，与半圆交于点，且，求的长度。

图2-1

解如图2-2，连接。

图2-2

因为为直径，所以，得，于是应用勾股定理得：

因为，所以，可设。

又因为，所以：

解得，得。

根据勾股定理得：

得

根据割线定理得：

---

题3 图3-1，以正方形顶点为圆心、为半径的圆弧与以为直径的圆弧相交于点，连接，延长与相交于点，求的值。

图3-1

解 如图3-2，连接，延长，分别交于，设的延长线交于点。

图3-2

因为，所以为弧的切线，为弧的切线，根据切割线定理有：


于是得，即为线段的中点。

为圆直径所对的圆周角，所以：

由此容易得：

∴
得：

即为之中点。

由得，得：

又由得：


于是，所以：

---

题4 如图4-1，是圆两条切线，是圆的割线，是与的交点。
(1)当通过圆心时，求证：；
(2)当PEC不通过圆心时，是否成立？说明理由。

图4-1

(1)证明 如图4-2，设直线过圆心，且交圆于，交于，连接，以下只要证明：

图4-2

根据切割线定理得：
(1)

又切圆于，所以
在直角三角形中，根据勾股定理有：

上式代入(1)得：

把代入上式得：

展开整理得：
(2)

是半圆弧对应的圆周角，故
由得：

代入(2)得：

移项整理得：

得证。

(2)答 当PEC不通过圆心O时，PE∙CD=PC∙DE仍然成立，有两种证明方法，分别如下：
证法1(面积法) 如图4-3，连接。

图4-3

因为分别切于，所以：
(3)
因为四点共圆，所以：

于是有：
(4)

另，根据等高关系有：

上式根据等比定理得：
)=ED/DC
上式代入(4)可以得
(5)

根据弦切角定理得：


所以：


相似三角形对应边成比例：

代入(5)可得



交叉乘得，得证∎

证法2 如图4-4，连接，令其与交于。

图4-4

下面等式显然：

(6)

根据交弦定理、勾股定理得：


代入(6)，并根据切割线定理得：





得证∎

---

喜欢吗？请关注我的主页：关耳叔讲数学

关耳叔讲数学