一个有趣的数学问题

0. 引言

前几天，一个朋友发给我一道测试老年痴呆的数学题。题目是这样的，

“妈妈跟女儿说：「我在你这个年纪时，你刚刚10岁，但你到我这个年纪时，我就82歲了」！

问：妈妈多大年纪生女儿？”

几年来，明显感到很多时候脑子不那么好使，但自以为还没有到痴呆的程度。于是满怀信心着手解决这一问题。

从小就有一种习惯，凡是具有挑战或者竞争意味的问题总是可以激发我的兴趣，不解决绝不罢休。

一开始以为这个问题看上去不复杂，仔细想想就应该可以解决。

母亲生女儿的年龄，也就是母亲和女儿年龄差。母亲在女儿的年龄，不就是母亲和女儿年龄差吗？ 那时女儿10岁。 就是女儿年龄倒回年龄差个年头， 等于10。 同样母亲年龄增加母亲和女儿年龄差就应该是母亲那时的年龄，等于82。

关系似乎有了， 问题在于三个变量：母亲年龄，女儿年龄， 还有母亲和女儿年龄差。 看上去是两个变量关系，可怎么使用年龄差的时候，就糊涂了。年龄差就是母亲和女儿的年龄差，就应该等于母亲年龄减去女儿年龄，...。脑子转不过来了。 真的有点痴呆的感觉！很不甘心。

明白了。 出问题的人就是利用这个看似简单却十分混淆的概念来搞乱思维。看了还是中了圈套，想不明白。不想证明自己已经痴呆。

我被迫拿出来纸和笔。一种作弊的感觉悠然心头。但是，总觉得不能被这个问题打败。更不愿接受老年痴呆的结论！

由于动了笔和纸，问题清楚了。这就是一个二元一次方程的问题。

1. 求解

好吧， 数学问题用数学方法来解决。

假设，母亲今年y岁， 女儿x岁， 年龄差就是y-x。

根据题意，

y + (y-x) = 82                (1)

x - (y-x) = 10                (2)

整理就有，

2y - x = 82,                (3)

2x - y = 10,                (4)

解这个二元一次方程式， (4) X 2, 即有，

4x - 2y = 20,              (5)

(3) + (5), 有，

3x = 102, 所以，

x = 34，就是女儿的年龄。

代入（4）就有，

y = 2x -10 = 58, 就是母亲的年龄。

所以 y - x = 24. 就是母女年龄差。

也就是母亲 24 岁生了女儿。

2. 有趣的数列

问题解决了， 老年痴呆的担心没有了。可我却依然放不下这个问题。

假如母亲不是24岁，而是25岁生了女儿，那么，当女儿到了母亲的年龄，母亲应该是多大呢？

假设依然保持母亲在女儿的年龄时，女儿已经10岁不变。那么，女儿今年就是35岁， 母亲就是35+25=60； 那当女儿60时， 母亲就是85岁。

问题很简单。可是我注意到母亲24岁生女儿，女儿到母亲的年龄时，目前是82岁，而当母亲25岁生女儿，女儿到母亲的年龄时母亲就85岁了。竟然相差3岁！

这个规律是否普遍？其含义又是什么呢？

我们知道，按照这个思路，女儿年龄就是母亲生女儿年龄加10，假设母亲在女儿的年龄女儿已经10岁不变。母亲年龄就是女儿年龄再加母亲生女儿时的年龄，而女儿到了母亲年龄，母亲就应该是母亲现在的年龄再加母亲生女儿的年龄。

那么，假设母亲26岁生了女儿，当女儿到了母亲的年龄， 母亲就应该是26+10（女儿年龄）+26（母亲现在年龄）+ 26=88岁了。

以此类推，

如果母亲27岁生了女儿，当女儿到了母亲的年龄。母亲基于应该是91岁。

所以， 当女儿到达母亲的年龄时，母亲的年龄就应该是母亲生女儿的年龄的三倍，加上母亲在女儿年龄时女儿的年龄。

一般化一下， 如果母亲x岁生女儿， 母亲在女儿的年龄时，女儿的岁数是n， 则当女儿到了吗母亲的年龄，母亲就3x + n 岁了。

验证一下， 母亲28岁生女儿， 当女儿到了母亲的年龄， 母亲就已经3x28+10=94.

如果把女儿到母亲的年龄，母亲自己的年龄列成数列，我们会有，相隔3岁的规律。

母亲生女儿年龄：                  24  25  26  27  28  …

女儿到了母亲年龄母亲的岁数： 82  85  88  91  94 …

那么，如果母亲对女儿说，我在你的年龄你已经5岁， 当女儿到了母亲的年龄，母亲多大呢？ 此时n=5.

当女儿到了母亲的年龄，母亲的年龄和生女儿岁数的关系依然是 3x + n 的话，母亲的年龄就是 3x + 5。

如果母亲25岁生女儿，x=25， 那么， 当女儿到了母亲的年龄， 母亲就是80岁了。同时，我们还可以得出：

女儿现在年龄就是x+5=30岁，

母亲现在年龄就是2x+5=55岁。

这样以来，如果问题是要知道母亲多大生了女儿， 那就必须给出，女儿，母亲现在的年龄其中之一，或者是当女儿到了母亲的年龄时，母亲的年龄。当然给出后面的就不是那么直接。这就是开始朋友发给我的测试老年痴呆问题。 按此修改一下， 那么问题就成了这样，

“母亲在女儿的年龄时，女儿已经5岁；当女儿到了母亲的年龄，母亲就80岁了。 问母亲多大生了女儿？ ”

答案自然就是（80-5）/3=25。

3. 结论

由此可以看出无论如何， 母亲生女儿的年龄差一岁， 当女儿到了母亲的年龄， 母亲的年龄就会相差3岁。 也就是说， 母亲晚生女儿3年， 当女儿到了母亲的年龄，母亲就会大9岁，就差一代人！