二进制与十进制

2022-02-22 本文已影响0人 hemiao3000

1. 十进制基本概念

145 ，被理解为 “一百四十五” ，但是 145 并不是一个 “数” ，而只是一个数的代码，是这个数的 “书写方式” 。

三、叁、three、3、|||、III、***、丙、等等很多书写方式，其实都可以表达同样的数学上的数字概念。

阿拉伯数字用 10 而罗马数字用 X 来表达同一个数学概念。

我们所说的 “一百四十五” ，其实只是一种表达方式：阿拉伯式的表达，也即使十进制。

2. 十进制规则总结

归纳起来：

十进制数使用数字 0 ~ 9 ；
每一位的 “权” 是 $10^n$ ，从低到高依次是： $10^0$ ， $10^1$ ， $10^2$ ， $10^3$ ， $10^4$ 等等；
用两位数可表示的最大数为 99 。也就是说，用 n 位数表示的范围是：0 ... n 个 9。共 10 的 n 次方个。

十进制的普及不是偶然的，但是我们可以使用不同的进制。

::: warning 注意
进制不同，只是书写效果的不同。不同的书写方式，可以表达同一个 “数” 的数学概念。
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3. 进制规则的推广

按照十进制中总结的数学规则，可以这样描述 八进制 ：

可用的数字为 0 ~ 7；
各位的权是 $8^n$ ，从低到高依次是： $8^0$ ， $8^1$ ， $8^2$ ， $8^3$ ， $8^4$ 等等；
用两位数可表示的最大数为 77 。也就是说，用 n 位八进制数表示的范围是：0 ... n 个 7，共 $8^n$ 个。

::: tip 练习
描述六进、七进制和九进制。
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十进制：

位数	第 4 位	第 3 位	第 2 位	第 1 位
位权	$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$
值	1000	100	10	1

七进制：

位数	第 4 位	第 3 位	第 2 位	第 1 位
位权	$7^3$	$7^2$	$7^1$	$7^0$
等价十进制	343	49	7	1

4. 重点结论

同样的书写方式 200：

十进制表示的数值是 2 个 100，而
七进制表示的数值 2 个 49

为了表达 50 这个数值：

十进制的书写格式是 50 ，而
七进制的书写格式是 101 ，
八进制的书写方式是 62

所以：

在不同的进制之间，同样的「书写方式」表达的数学值并不一样；
而要表达同样的数学值，「书写方式」是不一样的。

5. 二进制

二进制是这一概念推广的最终产物。

位数	第 8 位	第 7 位	第 6 位	第 5 位	第 4 位	第 3 位	第 2 位	第 1 位
位权	$2^7$	$2^6$	$2^5$	$2^4$	$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
等价十进制	128	64	32	16	8	4	2	1

计算机根本不认识字母、数字、指令或程序，在它的内部只是一些电路，某个电路的节点上要么有很多电，要么几乎没有电。

在硬件上，硬件工程师不太容易表示：少点电 - 一些点 - 较多电- 许多电 - 大量电 这样的多状态。反而很容易也更稳妥地实现：有电 - 没电 的两状态。所以二进制的本质就是：用 1 和 0 可以代表每一段电路的真实状态。

因为早期的计算机一次处理 8 位，所以很自然的将 8 位大小的长度称为字节。

用 8 位二进制数可以表示 256 个不同的值。如果 8 位都为 1，则对应的十进制值是 255；如果 8 为都是 0，则对应的十进制值是 0，从 0 ~ 255 一共有 256 种可能的状态（数据）。

1 byte = 8 bit
1 KB = $2^{10}$ byte
1 MB = $2^{10}$ KB = $2^{20}$ byte
1 GB = $2^{10}$ MB = $2^{20}$ KB = $2^{30}$ byte

$2^{10}$ = 1024

6. 十六进制

因为二进制数难于阅读，于是人们想出了一种更为简单的方式来表达相同的值。从二进制转换成十进制设计到大量的数的操作，但是从二进制转换成十六进制就很简单。

简单来说，你可以认为：在人类社会中，十六进制本质上是二进制的简写，因为在人类社会的交流中直接使用二进制太麻烦了！

十六进制中有十六个数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f：

用 a 表示比 9 大 1 的数，其值相当于十进制中的 10 ；
用 b 表示比 a 大 1 的数，其值相当于十进制中的 11 ；
用 c 表示比 b 大 1 的数，其值相当于十进制中的 12 ；
用 d 表示比 c 大 1 的数，其值相当于十进制中的 13 ；
用 e 表示比 d 大 1 的数，其值相当于十进制中的 14 ；
用 f 表示比 e 大 1 的数，其值相当于十进制中的 15 。

也就是说，有些数学概念上的数值，十进制中需要用两位数表示，但是十六进制用一位数就能表示

位	第 4 位	第 3 位	第 2 位	第 1 位
位权	$16^3$	$16^2$	$16^1$	$16^0$
等价十进制	4096	256	16	1

诀窍：一个字节中的 8 位 2 进制数，分成两组 4 位，正好每一组 4 位二进制数等价于 1 位十六进制数。