批量（batch）状态估计问题

2019-06-04 本文已影响0人徐凯_xp

我们已经探讨了观测模型
$\begin{cases} x_k = f(x_{k-1},u_k,w_k) \\ z_{k,j} = h(y_j,x_k,v_{k,j}) \end{cases}$
X为旋转+平移，h为相机观测模型

$P(X|Z)条件分布很难求解$ ，但可以求解

eg.从最大似然到最小二乘

直观的解释
- 由于噪声的存在，当我们把估计的轨迹与地图代入SLAM的运动、观测方程时，他们并不会完美的成立
- 此时就调整状态的估计，使得误差最小化
该问题有何结构
- 由许多个误差的平方和（Sigma范数和组成）
- 虽然总体维度高，但每个项很简单，只关联2个变量
- 如果用李代数表达位姿，那么是无约束优化问题
如何求解
- 介绍通用的非线性最小二乘问题

非线性最小二乘

先考虑简单的问题： $minJ(x)=min \frac{1}{2} \begin{Vmatrix}f(x)\end{Vmatrix}_2^2$ 这里 $x \in R^n$ ,f为任意函数

当f很简单时：
解： $\frac{dJ}{dx} =0$ 将得到极值点或者鞍点，比较这些点即可。
当f复杂时：
$\frac{dJ}{dx}$ 难求， $\frac{dJ}{dx}=0$ 很难解
使用迭代方式求解

如何使用迭代的方式：

给定某个初始值 $x_0$
对于第k次迭代，寻找一个增量 $\Delta x_k$ ，使得 $\begin{Vmatrix} f(x_k+\Delta x_k)\end{Vmatrix}_2^2$ 达到最小值
$\Delta x_k$ 足够小，则停止
否则，令 $x_{k+1} = x_k + \Delta x_k$ ,返回2

如何确定增量？
确定增量的方法（即梯度下降策略）：一阶或者二阶的泰勒展开

1.png

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最速下降法和牛顿法虽然直观，但实用当中存在一些缺点

最速下降法会碰到zigzag问题（过于贪婪）
牛顿法迭代次数少，但需要计算复杂的Hessian矩阵

能否回避Hessian的计算？

Gauss-Newton
Levenberg-Marquadt

G-N用J的表达式近似了H

步骤：

给定初始值 $x_0$
对于第k次迭代，求出当前的雅克比矩阵 $J(x_k)$ 和误差 $f(x_k)$
求解增量方程： $H\Delta x_k = g$
若 $\Delta x_k$ 足够小，则停止。否则，令 $x_{k+1}=x_k + \Delta x_k$ 返回2

改进版的G-N

LM相比于GN，能够保证增量方程的正定性

即，认为近似只在一定范围内成立，如果近似不好则缩小范围
从增量方程来看，可以看成一阶和二阶的混合
参数 $\lambda$ 控制着两边的权重

小结

非线性优化是个很大的主体，研究者们为之奋斗多年
主要方法：最速下降，牛顿，G-N，L-M，DogLeg
与线性规划不同，非线性需要针对具体问题具体分析
问题非凸时，对非凸敏感，会陷入局部最优
- 目前没有非凸问题的通用最优值的寻找方法
- 问题凸时，二阶方法通常一两步就能收敛

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